Transformasi — Translasi, Rotasi, Refleksi & Dilatasi

Transformasi dalam geometri adalah aturan yang memetakan setiap titik pada suatu bangun ke titik baru. Empat transformasi utama yang biasanya pertama kali dipelajari siswa adalah translasi, rotasi, refleksi, dan dilatasi.

Cara cepat membedakannya adalah ini: translasi menggeser, rotasi memutar, refleksi mencerminkan, dan dilatasi mengubah ukuran. Translasi, rotasi, dan refleksi mempertahankan ukuran dan bentuk. Dilatasi mempertahankan bentuk tetapi mengubah ukuran kecuali jika faktor skalanya adalah $1$.

Apa yang Dilakukan Setiap Jenis Transformasi

Translasi memindahkan setiap titik dengan jarak yang sama ke arah yang sama. Tidak ada putaran atau pencerminan.

Rotasi memutar suatu bangun terhadap titik tetap yang disebut pusat rotasi. Besar sudut dan arahnya penting.

Refleksi mencerminkan suatu bangun terhadap sebuah garis, yang disebut garis cermin. Titik-titik akan berada pada jarak tegak lurus yang sama di sisi lain garis tersebut.

Dilatasi memperbesar atau memperkecil suatu bangun dari pusat tetap dengan faktor skala. Jika $k > 1$, bayangan menjadi lebih besar. Jika $0 < k < 1$, bayangan menjadi lebih kecil.

Aturan Koordinat yang Aman Digunakan

Aturan singkat ini hanya berlaku pada kondisi yang disebutkan. Jika pusat atau garis cerminnya berubah, aturan koordinatnya juga berubah.

Untuk translasi sebesar $(a, b)$,

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

Untuk rotasi terhadap titik asal:

$$90^\circ \text{ counterclockwise}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ clockwise}: (x, y) \to (y, -x)$$

Untuk refleksi:

$$\text{across the } x\text{-axis}: (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{across the } y\text{-axis}: (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{across the line } y = x: (x, y) \to (y, x)$$

Untuk dilatasi dari titik asal dengan faktor skala $k$,

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

Satu Contoh Lengkap: Titik yang Sama pada Empat Transformasi

Gunakan titik $P(2, 1)$ agar kamu bisa melihat dengan jelas apa yang berubah setiap kali.

Jika titik itu ditranslasikan sebesar $(3, -2)$, tambahkan nilai tersebut ke koordinatnya:

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

Jika titik itu dirotasikan $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, gunakan $(x, y) \to (-y, x)$:

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

Jika titik itu direfleksikan terhadap sumbu $y$, ubah tanda koordinat $x$:

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

Jika titik itu didilatasikan dari titik asal dengan faktor skala $2$, kalikan kedua koordinat dengan $2$:

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

Satu contoh ini dengan cepat menunjukkan perbedaan utamanya:

• translasi mengubah posisi
• rotasi mengubah orientasi terhadap suatu pusat
• refleksi membalik bangun terhadap sebuah garis
• dilatasi mengubah ukuran dengan faktor skala

Sebuah poligon bekerja dengan cara yang sama. Transformasikan setiap titik sudut, lalu hubungkan kembali bayangannya dalam urutan yang sama.

Intuisi Tercepat: Tanyakan Apa yang Tetap

Transformasi menjadi lebih mudah dikenali jika kamu bertanya apa yang tetap.

Pada translasi, arah dan jarak tetap. Pada rotasi, pusatnya tetap. Pada refleksi, garis cerminnya tetap. Pada dilatasi, pusat dan faktor skalanya tetap.

Cara ini lebih andal daripada hanya menghafal aturan. Jika kamu mengetahui acuan tetapnya, biasanya kamu bisa menyusun kembali proses yang benar meskipun lupa aturan singkatnya.

Kesalahan Umum pada Transformasi

Lupa pada syarat aturan

Aturan singkat $(x, y) \to (-y, x)$ hanya berlaku untuk rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Jika pusatnya berubah, kamu memerlukan proses yang berbeda.

Tertukar antara searah dan berlawanan arah jarum jam

Ini adalah salah satu kesalahan paling umum dalam geometri koordinat. Jika arah tidak dinyatakan dengan jelas, berhentilah sejenak dan tentukan arahnya sebelum mentransformasikan titik.

Menganggap dilatasi mempertahankan panjang

Dilatasi mempertahankan bentuk, bukan ukuran sebenarnya. Panjang sisi dikalikan dengan faktor skala, sehingga bayangan sebangun dengan bangun asal, bukan biasanya kongruen.

Mencerminkan terhadap garis yang salah

Refleksi terhadap sumbu $x$, sumbu $y$, dan garis $y = x$ menghasilkan hasil yang berbeda. Koordinatnya mungkin tampak mirip, tetapi aturannya tidak bisa saling ditukar.

Di Mana Transformasi Digunakan

Transformasi muncul dalam geometri koordinat, soal simetri, penggambaran grafik, grafika komputer, skala peta, dan pemodelan dasar. Transformasi berguna setiap kali kamu perlu menjelaskan bagaimana suatu bangun bergeser, berputar, tercermin, atau berubah ukuran tanpa mendefinisikan ulang setiap titik dari awal.

Coba Soal Serupa

Cobalah versimu sendiri dengan segitiga $A(0, 1)$, $B(3, 1)$, dan $C(1, 4)$. Translasikan sebesar $(2, -1)$, lalu refleksikan terhadap sumbu $y$, dan periksa transformasi mana yang mempertahankan panjang sisi tetap sama. Jika ingin melangkah lebih jauh, selesaikan soal serupa dengan rotasi terhadap titik asal dan bandingkan koordinat barunya.