Transformations — Translation, rotation, réflexion et dilatation

Les transformations en géométrie sont des règles qui envoient chaque point d’une figure vers un nouveau point. Les quatre principales transformations que les élèves rencontrent d’abord sont la translation, la rotation, la réflexion et la dilatation.

La façon la plus rapide de les distinguer est la suivante : la translation fait glisser, la rotation fait tourner, la réflexion retourne, et la dilatation redimensionne. La translation, la rotation et la réflexion conservent la taille et la forme. La dilatation conserve la forme mais change la taille sauf si le facteur d’échelle est $1$.

Ce que fait chaque type de transformation

Translation déplace chaque point de la même distance dans la même direction. Rien ne tourne ni ne se retourne.

Rotation fait tourner une figure autour d’un point fixe appelé centre de rotation. L’angle et le sens comptent.

Réflexion retourne une figure par rapport à une droite, appelée axe de symétrie. Les points se retrouvent à la même distance perpendiculaire de l’autre côté de cette droite.

Dilatation agrandit ou réduit une figure à partir d’un centre fixe selon un facteur d’échelle. Si $k > 1$, l’image devient plus grande. Si $0 < k < 1$, l’image devient plus petite.

Règles de coordonnées que vous pouvez utiliser sans risque

Ces règles raccourcies ne fonctionnent que dans la condition indiquée. Si le centre ou l’axe de réflexion change, la règle de coordonnées change aussi.

Pour une translation de $(a, b)$,

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

Pour une rotation autour de l’origine :

$$90^\circ \text{ dans le sens antihoraire}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ dans le sens horaire}: (x, y) \to (y, -x)$$

Pour les réflexions :

$$\text{par rapport à l’axe des } x\text{ :}: (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{par rapport à l’axe des } y\text{ :}: (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{par rapport à la droite } y = x: (x, y) \to (y, x)$$

Pour une dilatation de centre l’origine et de facteur d’échelle $k$,

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

Exemple détaillé : le même point sous quatre transformations

Prenez le point $P(2, 1)$ pour voir exactement ce qui change à chaque fois.

Si vous lui appliquez une translation de $(3, -2)$, ajoutez ces valeurs aux coordonnées :

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

Si vous le faites tourner de $90^\circ$ dans le sens antihoraire autour de l’origine, utilisez $(x, y) \to (-y, x)$ :

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

Si vous le réfléchissez par rapport à l’axe des $y$, changez le signe de la coordonnée en $x$ :

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

Si vous lui appliquez une dilatation de centre l’origine et de facteur d’échelle $2$, multipliez les deux coordonnées par $2$ :

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

Cet exemple unique montre rapidement la différence principale :

• la translation change la position
• la rotation change l’orientation autour d’un centre
• la réflexion inverse la figure par rapport à une droite
• la dilatation change la taille selon un facteur d’échelle

Un polygone fonctionne de la même manière. Transformez chaque sommet, puis reliez l’image dans le même ordre.

L’intuition la plus rapide : demandez ce qui reste fixe

Une transformation devient plus facile à identifier quand vous demandez ce qui reste fixe.

Dans une translation, la direction et la distance restent fixes. Dans une rotation, le centre reste fixe. Dans une réflexion, l’axe miroir reste fixe. Dans une dilatation, le centre et le facteur d’échelle restent fixes.

C’est plus fiable que de mémoriser seulement des règles. Si vous connaissez la référence fixe, vous pouvez généralement reconstruire la bonne méthode même si vous oubliez un raccourci.

Erreurs fréquentes avec les transformations

Oublier la condition de la règle

Le raccourci $(x, y) \to (-y, x)$ ne fonctionne que pour une rotation de $90^\circ$ dans le sens antihoraire autour de l’origine. Si le centre change, il faut une autre méthode.

Confondre sens horaire et sens antihoraire

C’est l’une des erreurs les plus fréquentes en géométrie analytique. Si le sens n’est pas indiqué clairement, arrêtez-vous et identifiez-le avant de transformer le point.

Supposer que la dilatation conserve les longueurs

La dilatation conserve la forme, pas la taille réelle. Les longueurs des côtés sont multipliées par le facteur d’échelle, donc l’image est semblable à la figure d’origine, mais généralement pas congruente.

Réfléchir par rapport à la mauvaise droite

Réfléchir par rapport à l’axe des $x$, à l’axe des $y$ et à la droite $y = x$ donne des résultats différents. Les coordonnées peuvent sembler proches, mais les règles ne sont pas interchangeables.

Où les transformations sont utilisées

Les transformations apparaissent en géométrie analytique, dans les problèmes de symétrie, la représentation graphique, l’infographie, le changement d’échelle sur les cartes et la modélisation de base. Elles sont utiles chaque fois que vous devez décrire comment une forme se déplace, tourne, se retourne ou change de taille sans redéfinir chaque point depuis le début.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec le triangle $A(0, 1)$, $B(3, 1)$ et $C(1, 4)$. Appliquez-lui une translation de $(2, -1)$, puis une réflexion par rapport à l’axe des $y$, et vérifiez quelle transformation conserve les longueurs des côtés. Si vous voulez aller plus loin, résolvez un problème similaire avec une rotation autour de l’origine et comparez les nouvelles coordonnées.