기하 변환 — 평행이동, 회전, 대칭이동과 확대·축소

기하에서 변환은 도형의 각 점을 새로운 점으로 보내는 규칙입니다. 학생들이 처음 배우는 대표적인 네 가지 변환은 평행이동, 회전, 대칭이동, 확대·축소입니다.

빠르게 구분하는 방법은 이렇습니다. 평행이동은 미는 것이고, 회전은 돌리는 것이며, 대칭이동은 뒤집는 것이고, 확대·축소는 크기를 바꾸는 것입니다. 평행이동, 회전, 대칭이동은 크기와 모양을 보존합니다. 확대·축소는 비율이 $1$이 아닌 한 모양은 보존하지만 크기는 바뀝니다.

각 변환이 하는 일

평행이동은 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 옮깁니다. 회전하거나 뒤집히지 않습니다.

회전은 회전의 중심이라고 하는 고정된 점을 기준으로 도형을 돌립니다. 각도와 방향이 중요합니다.

대칭이동은 대칭축이라고 하는 직선을 기준으로 도형을 뒤집습니다. 각 점은 그 직선의 반대편에 같은 수직거리만큼 떨어진 곳으로 이동합니다.

확대·축소는 고정된 중심을 기준으로 비율에 따라 도형을 키우거나 줄입니다. $k > 1$이면 상이 더 커집니다. $0 < k < 1$이면 상이 더 작아집니다.

안전하게 쓸 수 있는 좌표 규칙

이 간단한 규칙들은 제시된 조건에서만 성립합니다. 중심이나 대칭축이 바뀌면 좌표 규칙도 함께 바뀝니다.

$(a, b)$만큼 평행이동할 때는

$$(x, y) \to (x + a, y + b)$$

원점을 중심으로 회전할 때는

$$90^\circ \text{ 반시계방향}: (x, y) \to (-y, x)$$ $$180^\circ: (x, y) \to (-x, -y)$$ $$90^\circ \text{ 시계방향}: (x, y) \to (y, -x)$$

대칭이동은 다음과 같습니다.

$$\text{across the } x\text{-axis}: (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{across the } y\text{-axis}: (x, y) \to (-x, y)$$ $$\text{across the line } y = x: (x, y) \to (y, x)$$

원점을 중심으로 비율 $k$만큼 확대·축소할 때는

$$(x, y) \to (kx, ky)$$

풀이 예제 하나: 같은 점에 네 가지 변환 적용하기

점 $P(2, 1)$을 사용해 매번 무엇이 바뀌는지 정확히 살펴보겠습니다.

이를 $(3, -2)$만큼 평행이동하면, 그 값을 좌표에 더합니다.

$$(2, 1) \to (2 + 3, 1 - 2) = (5, -1)$$

이를 원점을 중심으로 $90^\circ$ 반시계방향 회전하면, $(x, y) \to (-y, x)$를 사용합니다.

$$(2, 1) \to (-1, 2)$$

이를 $y$축에 대해 대칭이동하면, $x$좌표의 부호를 바꿉니다.

$$(2, 1) \to (-2, 1)$$

이를 원점을 중심으로 비율 $2$로 확대하면, 두 좌표를 모두 $2$배 합니다.

$$(2, 1) \to (4, 2)$$

이 한 가지 예제로 핵심 차이를 빠르게 볼 수 있습니다.

• 평행이동은 위치를 바꿉니다
• 회전은 중심을 기준으로 방향을 바꿉니다
• 대칭이동은 직선을 기준으로 도형을 뒤집습니다
• 확대·축소는 비율에 따라 크기를 바꿉니다

다각형도 같은 방식으로 처리합니다. 각 꼭짓점을 변환한 뒤, 같은 순서로 다시 이으면 됩니다.

가장 빠른 직관: 무엇이 고정되는지 묻기

무엇이 고정되는지 생각하면 변환의 종류를 더 쉽게 알아낼 수 있습니다.

평행이동에서는 방향과 거리가 고정됩니다. 회전에서는 중심이 고정됩니다. 대칭이동에서는 대칭축이 고정됩니다. 확대·축소에서는 중심과 비율이 고정됩니다.

이 방법은 규칙만 외우는 것보다 더 믿을 만합니다. 고정 기준을 알고 있으면, 간단한 공식이 기억나지 않아도 올바른 과정을 다시 세울 수 있는 경우가 많습니다.

변환에서 자주 하는 실수

규칙의 조건을 놓치는 경우

간단한 규칙 $(x, y) \to (-y, x)$는 원점을 중심으로 한 $90^\circ$ 반시계방향 회전에만 적용됩니다. 중심이 바뀌면 다른 과정을 써야 합니다.

시계방향과 반시계방향을 혼동하는 경우

이것은 좌표기하에서 가장 흔한 실수 중 하나입니다. 방향이 분명하게 제시되지 않았다면, 점을 변환하기 전에 먼저 방향을 확인하세요.

확대·축소가 길이를 보존한다고 생각하는 경우

확대·축소는 모양을 보존하지만 실제 크기는 보존하지 않습니다. 변의 길이는 비율만큼 곱해지므로, 상은 원래 도형과 닮음이지 보통은 합동이 아닙니다.

잘못된 직선에 대해 대칭이동하는 경우

$x$축, $y$축, 그리고 직선 $y = x$에 대한 대칭이동은 서로 다른 결과를 만듭니다. 좌표가 비슷해 보일 수는 있지만, 규칙을 서로 바꿔 쓸 수는 없습니다.

변환은 어디에 쓰일까

변환은 좌표기하, 대칭 문제, 그래프 그리기, 컴퓨터 그래픽스, 지도 축척, 기초 모델링에 등장합니다. 도형의 각 점을 처음부터 다시 정의하지 않고도, 도형이 어떻게 이동하고, 회전하고, 뒤집히고, 크기가 바뀌는지를 설명해야 할 때 유용합니다.

비슷한 문제를 풀어보세요

삼각형 $A(0, 1)$, $B(3, 1)$, $C(1, 4)$로 직접 해보세요. 이를 $(2, -1)$만큼 평행이동한 뒤, 다시 $y$축에 대해 대칭이동하고, 어떤 변환이 변의 길이를 그대로 유지하는지 확인해 보세요. 더 나아가고 싶다면, 원점을 중심으로 한 회전 문제도 비슷하게 풀어 보고 새 좌표를 비교해 보세요.