Espressioni razionali

Un’espressione razionale è una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi, come $\frac{x+1}{x-3}$. Il denominatore non può essere zero, quindi ogni espressione razionale ha valori che non sono ammessi.

In generale, un’espressione razionale ha la forma

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi e $Q(x) \ne 0$.

Se vuoi capire rapidamente le espressioni razionali, tieni insieme due idee: si semplificano come le frazioni e le restrizioni del dominio derivano dal denominatore originale.

Che cos’è un’espressione razionale?

Espressioni come

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

sono espressioni razionali perché ciascuna è un quoziente di polinomi.

Al contrario, $\frac{1}{\sqrt{x}}$ di solito non viene considerata un’espressione razionale nell’algebra di base, perché $\sqrt{x}$ non è un polinomio.

Come semplificare le espressioni razionali in modo sicuro

La regola fondamentale è semplice: si semplificano i fattori, non i termini. Se numeratore e denominatore hanno un fattore comune, puoi dividere per quel fattore. Non puoi eliminare una parte di una somma o di una differenza.

Per esempio,

$$\frac{x+1}{x+3}$$

non si semplifica “eliminando la $x$”. Il numeratore e il denominatore sono somme, non fattori uguali.

Per questo la scomposizione viene prima. La scomposizione mostra se esiste davvero un fattore comune.

Esempio svolto: semplificare un’espressione razionale

Semplifica

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

Prima di semplificare, trova i valori che rendono zero il denominatore originale:

$$x^2 + x = x(x+1),$$

quindi $x \ne 0$ e $x \ne -1$.

Ora scomponi entrambe le parti:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

e

$$x^2+x = x(x+1).$$

Quindi l’espressione diventa

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

Ora c’è un fattore comune $(x+1)$, quindi puoi semplificarlo:

$$\frac{x-1}{x}.$$

Quindi l’espressione semplificata è $\frac{x-1}{x}$, con le restrizioni originali $x \ne 0$ e $x \ne -1$.

Il fattore $(x+1)$ è scomparso dalla frazione finale, ma la restrizione $x \ne -1$ non è scomparsa. L’espressione originale lì non era definita, quindi la risposta semplificata deve mantenere quella condizione.

Perché le restrizioni del dominio sono importanti

Non è solo un dettaglio tecnico. Cambia quali valori appartengono al dominio dell’espressione, cioè l’insieme degli input per cui ha senso.

Per esempio, l’espressione semplificata

$$\frac{x-1}{x}$$

è definita per molti valori, ma quando deriva da

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

il valore $x=-1$ deve comunque essere escluso perché il denominatore originale lì diventa zero.

La semplificazione può cambiare l’aspetto di un’espressione razionale, ma non elimina i punti in cui l’espressione originale non era definita.

Errori comuni con le espressioni razionali

1. Semplificare termini invece di fattori. È l’errore di algebra più comune con le espressioni razionali.
2. Dimenticare di scomporre prima. Senza scomposizione, spesso non puoi capire se la semplificazione è lecita.
3. Eliminare le restrizioni del denominatore dopo aver semplificato. Le restrizioni derivano dal denominatore originale.
4. Supporre che ogni espressione razionale si possa semplificare. Alcune sono già nella forma più semplice.

Quando si usano le espressioni razionali

Le espressioni razionali compaiono in algebra, precalcolo e calcolo. Le incontri quando semplifichi formule, risolvi equazioni razionali, studi grafici con asintoti verticali e imposti la scomposizione in fratti semplici.

Sono importanti perché molte formule sono rapporti. Quando sai scomporre, semplificare e tenere traccia delle restrizioni, gli argomenti successivi diventano molto più facili da affrontare.

Prova a risolvere un problema simile

Prova a semplificare

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

Scomponi prima, semplifica solo i fattori comuni se esistono e scrivi le restrizioni sulla variabile ricavate dal denominatore originale. Poi controlla se la tua risposta finale mantiene ancora tutti i valori esclusi dal denominatore originale.