有理式

有理式とは、$\frac{x+1}{x-3}$ のように、分子と分母が多項式になっている分数のことです。分母は 0 になってはいけないので、どの有理式にも使えない値があります。

一般に、有理式は次の形をしています。

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

ここで、$P(x)$ と $Q(x)$ は多項式で、$Q(x) \ne 0$ です。

有理式を手早く理解したいなら、2つの考え方をセットで押さえましょう。分数のように簡単にできることと、定義域の制限はもとの分母から決まることです。

有理式とは？

たとえば、次のような式は

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

どれも多項式どうしの商なので、有理式です。

一方で、$\frac{1}{\sqrt{x}}$ は、初等代数ではふつう有理式とはみなしません。$\sqrt{x}$ は多項式ではないからです。

有理式を安全に簡単にする方法

大事なルールはシンプルです。消してよいのは項ではなく因数です。分子と分母に共通因数があれば、その因数で割ることができます。和や差の一部だけを消してはいけません。

たとえば、

$$\frac{x+1}{x+3}$$

は、「$x$ を消す」ことで簡単にはできません。分子も分母も和であって、一致する因数ではないからです。

だからこそ、先に因数分解することが大切です。因数分解をすると、本当に共通因数があるかどうかがわかります。

例題：有理式を簡単にする

次を簡単にします。

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

まず簡単にする前に、もとの分母が 0 になる値を求めます。

$$x^2 + x = x(x+1),$$

したがって、$x \ne 0$ かつ $x \ne -1$ です。

次に、分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

また、

$$x^2+x = x(x+1).$$

よって、式は

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}$$

となります。

ここで $(x+1)$ が共通因数なので、これを約分できます。

$$\frac{x-1}{x}.$$

したがって、簡単にした式は $\frac{x-1}{x}$ です。ただし、もとの制限 $x \ne 0$ と $x \ne -1$ はそのまま残ります。

最終的な分数からは因数 $(x+1)$ が消えましたが、制限 $x \ne -1$ まで消えたわけではありません。もとの式はその値で定義されていなかったので、簡単にした答えにもその条件を残す必要があります。

定義域の制限が重要な理由

これは単なる細かい注意ではありません。どの値がその式の定義域に入るか、つまり意味をもつ入力の集合が変わるからです。

たとえば、簡単にした式

$$\frac{x-1}{x}$$

は多くの値で定義されていますが、これが

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

から得られたものであるなら、$x=-1$ はやはり除かなければなりません。その値では、もとの分母が 0 になるからです。

簡単にすると有理式の見た目は変わることがありますが、もとの式が定義されていなかった点まで消えるわけではありません。

有理式でよくある間違い

1. 因数ではなく項を約分してしまうこと。これは有理式で最もよくある代数のミスです。
2. 先に因数分解するのを忘れること。因数分解しないと、約分してよいかどうかが見えないことがよくあります。
3. 簡単にしたあとで分母の制限を落としてしまうこと。制限はもとの分母から決まります。
4. どの有理式も簡単にできると思い込むこと。すでに最も簡単な形のものもあります。

有理式を使う場面

有理式は、代数、プレカルキュラス、微積分で登場します。公式を簡単にするとき、有理方程式を解くとき、垂直漸近線をもつグラフを調べるとき、部分分数分解をするときなどに使います。

多くの公式は比でできているので、有理式は重要です。因数分解、簡単化、制限の確認ができるようになると、その先の単元がずっと扱いやすくなります。

似た問題を解いてみよう

次を簡単にしてみましょう。

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

まず因数分解し、共通因数があるときだけ約分し、もとの分母から変数の制限を書きます。そのあと、最終結果に、もとの分母が除いていた値がすべてきちんと残っているか確認してみましょう。