Gebrochenrationale Ausdrücke

Ein gebrochenrationaler Ausdruck ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind, zum Beispiel $\frac{x+1}{x-3}$. Der Nenner darf nicht null sein, daher gibt es bei jedem gebrochenrationalen Ausdruck Werte, die ausgeschlossen sind.

Im Allgemeinen hat ein gebrochenrationaler Ausdruck die Form

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

wobei $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome sind und $Q(x) \ne 0$ gilt.

Wenn du gebrochenrationale Ausdrücke schnell verstehen willst, solltest du zwei Dinge zusammen sehen: Sie werden wie Brüche vereinfacht, und ihre Definitionsbeschränkungen kommen vom ursprünglichen Nenner.

Was ist ein gebrochenrationaler Ausdruck?

Ausdrücke wie

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

sind gebrochenrationale Ausdrücke, weil jeder davon ein Quotient von Polynomen ist.

Dagegen wird $\frac{1}{\sqrt{x}}$ in der elementaren Algebra normalerweise nicht als gebrochenrationaler Ausdruck behandelt, weil $\sqrt{x}$ kein Polynom ist.

So vereinfacht man gebrochenrationale Ausdrücke sicher

Die wichtigste Regel ist einfach: Kürze Faktoren, nicht Terme. Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, darfst du durch diesen Faktor teilen. Einen Teil einer Summe oder Differenz darfst du nicht kürzen.

Zum Beispiel

$$\frac{x+1}{x+3}$$

lässt sich nicht vereinfachen, indem man „das $x$ kürzt“. Zähler und Nenner sind Summen, keine übereinstimmenden Faktoren.

Deshalb kommt das Faktorisieren zuerst. Erst dadurch sieht man, ob tatsächlich ein gemeinsamer Faktor vorhanden ist.

Beispiel: Einen gebrochenrationalen Ausdruck vereinfachen

Vereinfache

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

Bevor du vereinfachst, bestimme die Werte, die den ursprünglichen Nenner null machen:

$$x^2 + x = x(x+1),$$

also gilt $x \ne 0$ und $x \ne -1$.

Faktorisiere nun beide Teile:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

und

$$x^2+x = x(x+1).$$

Damit wird der Ausdruck zu

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

Jetzt gibt es den gemeinsamen Faktor $(x+1)$, also kannst du ihn kürzen:

$$\frac{x-1}{x}.$$

Der vereinfachte Ausdruck ist also $\frac{x-1}{x}$, mit den ursprünglichen Einschränkungen $x \ne 0$ und $x \ne -1$.

Der Faktor $(x+1)$ ist im Endbruch verschwunden, aber die Einschränkung $x \ne -1$ ist nicht verschwunden. Der ursprüngliche Ausdruck war dort nicht definiert, deshalb muss die vereinfachte Antwort diese Bedingung beibehalten.

Warum Definitionsbeschränkungen wichtig sind

Das ist nicht nur ein technisches Detail. Es verändert, welche Werte zur Definitionsmenge des Ausdrucks gehören, also zur Menge der Eingaben, für die der Ausdruck sinnvoll ist.

Zum Beispiel ist der vereinfachte Ausdruck

$$\frac{x-1}{x}$$

für viele Werte definiert. Wenn er aber aus

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

entsteht, muss der Wert $x=-1$ weiterhin ausgeschlossen werden, weil der ursprüngliche Nenner dort null wird.

Das Vereinfachen kann das Aussehen eines gebrochenrationalen Ausdrucks verändern, aber es beseitigt nicht die Stellen, an denen der ursprüngliche Ausdruck nicht definiert war.

Häufige Fehler bei gebrochenrationalen Ausdrücken

1. Terme statt Faktoren kürzen. Das ist der häufigste Algebrafehler bei gebrochenrationalen Ausdrücken.
2. Vergessen, zuerst zu faktorisieren. Ohne Faktorisieren erkennt man oft nicht, ob Kürzen überhaupt erlaubt ist.
3. Die Nennerbeschränkungen nach dem Vereinfachen weglassen. Die Einschränkungen kommen vom ursprünglichen Nenner.
4. Annehmen, dass sich jeder gebrochenrationale Ausdruck vereinfachen lässt. Manche sind bereits in der einfachsten Form.

Wann man gebrochenrationale Ausdrücke verwendet

Gebrochenrationale Ausdrücke kommen in Algebra, Präkalkül und Analysis vor. Man begegnet ihnen beim Vereinfachen von Formeln, beim Lösen gebrochenrationaler Gleichungen, beim Untersuchen von Graphen mit vertikalen Asymptoten und beim Ansatz der Partialbruchzerlegung.

Sie sind wichtig, weil viele Formeln Verhältnisse sind. Wenn du faktorisieren, vereinfachen und Einschränkungen nachverfolgen kannst, werden spätere Themen viel leichter.

Versuche eine ähnliche Aufgabe

Versuche zu vereinfachen

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

Faktorisiere zuerst, kürze nur gemeinsame Faktoren, falls es welche gibt, und notiere die Variableneinschränkungen aus dem ursprünglichen Nenner. Prüfe dann, ob deine Endlösung weiterhin alle Werte ausschließt, die der ursprüngliche Nenner ausgeschlossen hat.