Expressions rationnelles

Une expression rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, comme $\frac{x+1}{x-3}$. Le dénominateur ne peut pas être nul, donc toute expression rationnelle s’accompagne de valeurs interdites.

En général, une expression rationnelle a la forme

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes et $Q(x) \ne 0$.

Si vous voulez comprendre rapidement les expressions rationnelles, gardez ensemble deux idées : elles se simplifient comme des fractions, et leurs restrictions de domaine viennent du dénominateur d’origine.

Qu’est-ce qu’une expression rationnelle ?

Des expressions comme

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

sont des expressions rationnelles, car chacune est un quotient de polynômes.

En revanche, $\frac{1}{\sqrt{x}}$ n’est généralement pas considérée comme une expression rationnelle en algèbre élémentaire, car $\sqrt{x}$ n’est pas un polynôme.

Comment simplifier une expression rationnelle sans erreur

La règle essentielle est simple : on simplifie des facteurs, pas des termes. Si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun, vous pouvez diviser par ce facteur. Vous ne pouvez pas simplifier une partie d’une somme ou d’une différence.

Par exemple,

$$\frac{x+1}{x+3}$$

ne se simplifie pas en « simplifiant le $x$ ». Le numérateur et le dénominateur sont des sommes, pas des facteurs identiques.

C’est pourquoi la factorisation vient d’abord. Factoriser permet de voir si un facteur commun existe réellement.

Exemple détaillé : simplifier une expression rationnelle

Simplifiez

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

Avant de simplifier, trouvez les valeurs qui annulent le dénominateur d’origine :

$$x^2 + x = x(x+1),$$

donc $x \ne 0$ et $x \ne -1$.

Maintenant, factorisez les deux parties :

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

et

$$x^2+x = x(x+1).$$

L’expression devient donc

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

Il y a maintenant un facteur commun $(x+1)$, donc vous pouvez le simplifier :

$$\frac{x-1}{x}.$$

L’expression simplifiée est donc $\frac{x-1}{x}$, avec les restrictions d’origine $x \ne 0$ et $x \ne -1$.

Le facteur $(x+1)$ a disparu de la fraction finale, mais la restriction $x \ne -1$ n’a pas disparu. L’expression d’origine n’était pas définie pour cette valeur, donc la réponse simplifiée doit conserver cette condition.

Pourquoi les restrictions de domaine sont importantes

Ce n’est pas seulement un détail technique. Cela change les valeurs qui appartiennent au domaine de l’expression, c’est-à-dire l’ensemble des entrées pour lesquelles elle a un sens.

Par exemple, l’expression simplifiée

$$\frac{x-1}{x}$$

est définie pour de nombreuses valeurs, mais lorsqu’elle provient de

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

la valeur $x=-1$ doit toujours être exclue, car le dénominateur d’origine y devient nul.

La simplification peut changer l’apparence d’une expression rationnelle, mais elle n’efface pas les points où l’expression d’origine n’était pas définie.

Erreurs fréquentes avec les expressions rationnelles

1. Simplifier des termes au lieu de facteurs. C’est l’erreur d’algèbre la plus fréquente avec les expressions rationnelles.
2. Oublier de factoriser d’abord. Sans factorisation, on ne peut souvent pas voir si la simplification est autorisée.
3. Oublier les restrictions du dénominateur après simplification. Les restrictions viennent du dénominateur d’origine.
4. Supposer que toute expression rationnelle peut être simplifiée. Certaines sont déjà sous leur forme la plus simple.

Quand utilise-t-on les expressions rationnelles ?

Les expressions rationnelles apparaissent en algèbre, en précalcul et en calcul différentiel. On les rencontre lorsqu’on simplifie des formules, qu’on résout des équations rationnelles, qu’on étudie des graphes avec des asymptotes verticales et qu’on met en place une décomposition en fractions partielles.

Elles sont importantes parce que beaucoup de formules sont des rapports. Une fois que vous savez factoriser, simplifier et suivre les restrictions, les chapitres suivants deviennent beaucoup plus faciles à aborder.

Essayez un problème similaire

Essayez de simplifier

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

Factorisez d’abord, simplifiez uniquement les facteurs communs s’ils existent, puis écrivez les restrictions sur la variable à partir du dénominateur d’origine. Vérifiez ensuite que votre réponse finale conserve bien toutes les valeurs exclues par le dénominateur d’origine.