유리식

유리식은 분자와 분모가 모두 다항식인 분수입니다. 예를 들어 $\frac{x+1}{x-3}$ 같은 식이 있습니다. 분모는 0이 될 수 없으므로, 모든 유리식에는 허용되지 않는 값이 함께 따라옵니다.

일반적으로 유리식은 다음과 같은 꼴입니다.

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

여기서 $P(x)$와 $Q(x)$는 다항식이고, $Q(x) \ne 0$입니다.

유리식을 빠르게 이해하려면 두 가지를 함께 기억하면 됩니다. 유리식은 분수처럼 간단히 할 수 있고, 정의역의 제한은 원래 분모에서 나온다는 점입니다.

유리식이란?

다음과 같은 식

$$\frac{x+2}{x-5}, \quad \frac{x^2-1}{x^2+x}, \quad \frac{3}{x^2+4}$$

은 모두 유리식입니다. 각각이 다항식의 몫이기 때문입니다.

반면 $\frac{1}{\sqrt{x}}$는 기초 대수에서는 보통 유리식으로 보지 않습니다. $\sqrt{x}$가 다항식이 아니기 때문입니다.

유리식을 안전하게 간단히 하는 방법

가장 중요한 규칙은 간단합니다. 항이 아니라 인수를 약분해야 합니다. 분자와 분모에 공통인수가 있으면 그 인수로 나눌 수 있습니다. 하지만 합이나 차의 일부만 따로 약분할 수는 없습니다.

예를 들어

$$\frac{x+1}{x+3}$$

은 "$x$를 약분"해서 간단해지지 않습니다. 분자와 분모는 합의 형태이지, 서로 같은 인수의 곱이 아니기 때문입니다.

그래서 인수분해가 먼저입니다. 인수분해를 해야 실제로 공통인수가 있는지 확인할 수 있습니다.

풀이 예시: 유리식 간단히 하기

다음을 간단히 하세요.

$$\frac{x^2-1}{x^2+x}.$$

간단히 하기 전에, 먼저 원래 분모를 0으로 만드는 값을 찾습니다.

$$x^2 + x = x(x+1),$$

따라서 $x \ne 0$이고 $x \ne -1$입니다.

이제 분자와 분모를 각각 인수분해합니다.

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

그리고

$$x^2+x = x(x+1).$$

그러면 식은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}.$$

이제 $(x+1)$이 공통인수이므로 약분할 수 있습니다.

$$\frac{x-1}{x}.$$

따라서 간단히 한 식은 $\frac{x-1}{x}$이고, 원래 제한 조건은 $x \ne 0$과 $x \ne -1$입니다.

최종 분수에서는 $(x+1)$ 인수가 사라졌지만, $x \ne -1$이라는 제한은 사라지지 않습니다. 원래 식은 그 값에서 정의되지 않았으므로, 간단히 한 답에도 그 조건이 그대로 남아 있어야 합니다.

정의역의 제한이 중요한 이유

이것은 단순한 형식상의 문제가 아닙니다. 어떤 값들이 식의 정의역에 들어가는지를 바꾸기 때문입니다. 즉, 식이 의미를 가지는 입력값의 집합이 달라집니다.

예를 들어, 간단히 한 식

$$\frac{x-1}{x}$$

은 많은 값에서 정의되지만, 이것이

$$\frac{x^2-1}{x^2+x},$$

에서 나온 것이라면 $x=-1$은 여전히 제외해야 합니다. 원래 분모가 그 값에서 0이 되기 때문입니다.

유리식을 간단히 하면 겉모양은 바뀔 수 있지만, 원래 식이 정의되지 않았던 점까지 없어지는 것은 아닙니다.

유리식에서 자주 하는 실수

1. 인수가 아니라 항을 약분하는 것. 이것이 유리식에서 가장 흔한 대수 실수입니다.
2. 먼저 인수분해하지 않는 것. 인수분해를 하지 않으면 약분이 가능한지 보이지 않는 경우가 많습니다.
3. 간단히 한 뒤 분모의 제한 조건을 빼먹는 것. 제한 조건은 원래 분모에서 나옵니다.
4. 모든 유리식이 반드시 간단해진다고 생각하는 것. 어떤 식은 이미 가장 간단한 형태입니다.

유리식을 사용하는 때

유리식은 대수, 예비미적분, 미적분에서 자주 나옵니다. 공식을 간단히 하거나, 유리방정식을 풀거나, 수직점근선이 있는 그래프를 공부하거나, 부분분수 분해를 할 때 보게 됩니다.

많은 공식이 비의 형태이기 때문에 유리식은 중요합니다. 인수분해하고, 간단히 하고, 제한 조건을 추적할 수 있으면 이후의 내용도 훨씬 다루기 쉬워집니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 간단히 해 보세요.

$$\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$

먼저 인수분해하고, 공통인수가 있을 때만 약분하세요. 그리고 원래 분모에서 나오는 변수의 제한 조건을 쓰세요. 마지막으로 최종 답이 원래 분모에서 제외했던 값을 모두 그대로 유지하는지도 확인해 보세요.