HCF และ LCM — วิธีหา เทคนิคสั้น ๆ และตัวอย่าง

HCF คือจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หารจำนวนตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปได้ลงตัว ส่วน LCM คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนทั้งหมดนั้นได้ลงตัว

สำหรับ $12$ และ $18$ จะได้ว่า HCF คือ $6$ และ LCM คือ $36$ ใช้ HCF เมื่อต้องการแบ่งเป็นกลุ่มเท่า ๆ กันที่ใหญ่ที่สุด หรือต้องการย่อเศษส่วน ใช้ LCM เมื่อต้องการตัวส่วนร่วม หรืออยากรู้ว่ารอบที่เกิดซ้ำจะมาตรงกันอีกเมื่อไร

HCF กับ LCM: แนวคิดหลัก

ตัวประกอบคือจำนวนที่หารอีกจำนวนหนึ่งได้โดยไม่มีเศษ ส่วนพหุคูณคือจำนวนที่ได้จากการคูณ

ดังนั้นความต่างหลักคือ:

• HCF มองหาตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด
• LCM มองหาพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุด

ในหลายบริบทของการเรียนในโรงเรียน HCF เป็นแนวคิดเดียวกับ GCF หรือ GCD สำหรับจำนวนเต็มบวก ชื่อเรียกอาจต่างกันตามภูมิภาค แต่หลักการคำนวณเหมือนกัน

ควรใช้ HCF เมื่อไร และควรใช้ LCM เมื่อไร

ใช้ HCF เมื่อโจทย์เกี่ยวกับการแบ่งบางสิ่งออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันที่ใหญ่ที่สุด หรือการย่อเศษส่วน

ใช้ LCM เมื่อโจทย์เกี่ยวกับการให้รอบตรงกัน การหาตัวส่วนร่วม หรือถามหาจำนวนแรกที่ทั้งสองจำนวนหารลงตัว

มีวิธีเช็กเร็ว ๆ อย่างหนึ่ง:

• "ส่วนร่วมที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร" หมายถึง HCF
• "ผลรวมร่วมตัวแรกคืออะไร" หมายถึง LCM

วิธีหา HCF และ LCM

1. วิธีแจกแจงรายการ

สำหรับจำนวนเล็ก ๆ การแจกแจงรายการมักเป็นวิธีที่เร็วที่สุด

ถ้าต้องการหา HCF ให้เขียนตัวประกอบออกมาแล้วเลือกตัวที่มากที่สุดที่ซ้ำกัน

ถ้าต้องการหา LCM ให้เขียนพหุคูณออกมาแล้วเลือกตัวแรกที่ซ้ำกัน

2. วิธีแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ

สำหรับจำนวนเต็มบวกที่ใหญ่ขึ้น การแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะมักจะเป็นระเบียบกว่า

เขียนแต่ละจำนวนให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ แล้วทำดังนี้:

• สำหรับ HCF ให้เก็บเฉพาะจำนวนเฉพาะที่ซ้ำกัน และใช้เลขชี้กำลังที่น้อยกว่า
• สำหรับ LCM ให้เก็บจำนวนเฉพาะทุกตัวที่ปรากฏ และใช้เลขชี้กำลังที่มากกว่า

วิธีนี้ใช้ได้เพราะ HCF ต้องเป็นจำนวนที่อยู่ในทั้งสองจำนวนพอดี ส่วน LCM ต้องมีตัวประกอบเฉพาะมากพอที่จะครอบคลุมทั้งสองจำนวน

ตัวอย่างทำครบ: HCF และ LCM ของ $12$ และ $18$

เริ่มจากการแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

HCF

จำนวนเฉพาะที่ซ้ำกันคือ $2$ และ $3$ ใช้เลขชี้กำลังที่น้อยกว่าในแต่ละครั้ง:

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$$

LCM

เก็บจำนวนเฉพาะทุกตัวที่ปรากฏ โดยใช้เลขชี้กำลังที่มากกว่าในแต่ละครั้ง:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

ดังนั้นสำหรับคู่นี้

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 6 \qquad \text{และ} \qquad \mathrm{LCM}(12,18) = 36$$

เทคนิคสั้น ๆ สำหรับสองจำนวน

สำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวน $a$ และ $b$

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

ดังนั้นถ้าคุณรู้ค่าใดค่าหนึ่งอยู่แล้ว ก็มักจะหาอีกค่าได้:

$$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$$

เงื่อนไขนี้สำคัญ สูตรลัดในรูปแบบง่ายนี้ใช้สำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับ HCF และ LCM

สับสนระหว่างตัวประกอบกับพหุคูณ

HCF เกี่ยวกับจำนวนที่หารจำนวนเดิมได้ลงตัว ส่วน LCM เกี่ยวกับจำนวนที่จำนวนเดิมหารลงตัว

ใช้เลขชี้กำลังผิดในการแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ

สำหรับ HCF ให้ใช้เลขชี้กำลังที่น้อยกว่า สำหรับ LCM ให้ใช้เลขชี้กำลังที่มากกว่า ถ้าสลับกฎสองข้อนี้ คำตอบจะผิดทันที

เลือกจำนวนร่วมที่ไม่ใช่จำนวนที่ถูกต้อง

$2$ และ $3$ ต่างก็เป็นตัวประกอบร่วมของ $12$ และ $18$ แต่ไม่มีตัวไหนมากที่สุด อีกทั้ง $72$ ก็เป็นพหุคูณร่วมของ $12$ และ $18$ แต่ไม่ใช่ค่าน้อยที่สุด

ใช้สูตรผลคูณโดยไม่ดูเงื่อนไขให้ถูกต้อง

สูตรลัด

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

เป็นวิธีตรวจสอบมาตรฐานสำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวน ไม่ใช่วิธีหลักที่ควรนำไปใช้แบบตรง ๆ กับทุกโจทย์ที่มีหลายจำนวน

HCF และ LCM ใช้ในเรื่องใดบ้าง

HCF ใช้ในการย่อเศษส่วน และใช้แบ่งปริมาณออกเป็นกลุ่มเท่า ๆ กันที่ใหญ่ที่สุด

LCM ใช้ในการหาตัวส่วนร่วม และใช้ในโจทย์เกี่ยวกับเวลา เช่น เมื่อเหตุการณ์ที่เกิดซ้ำสองอย่างจะเกิดพร้อมกันอีกครั้งเมื่อไร

ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการย่อ

$$\frac{12}{18},$$

ให้หารทั้งเศษและส่วนด้วย HCF ซึ่งคือ $6$:

$$\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

ถ้าคุณกำลังบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น $12$ และ $18$ ค่า LCM ที่เป็น $36$ จะเป็นตัวส่วนร่วมที่สะดวก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

หา HCF และ LCM ของ $20$ และ $30$ โดยใช้การแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นตรวจคำตอบด้วย

$$\mathrm{HCF}(20,30) \cdot \mathrm{LCM}(20,30) = 20 \cdot 30.$$

ถ้าทั้งสองข้างเท่ากัน แปลว่าคุณเข้าใจวิธีนี้แล้ว