三角形の角度 — 内角の和は180°、角の種類

ユークリッド幾何では、三角形の内角の和は $180^\circ$ です。2つの内角がわかっていれば、その和を $180^\circ$ から引くことで3つ目の角が求められます。この事実を使えば、その三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれかも判断できます。

内角を $A$、$B$、$C$ とすると、

$$A + B + C = 180^\circ$$

となります。

この式は、ふつうの平面幾何についてのものです。球面上に描いた三角形のような非ユークリッド幾何では、内角の和が $180^\circ$ とは限りません。

三角形の内角の和が180度になる理由

三角形には、各頂点に1つずつ、合計3つの内角があります。ユークリッド幾何では、その3つの角はいつも同じ合計、つまり一直線の角である $180^\circ$ になります。

この公式を使うのに、毎回きちんとした証明が必要なわけではありません。大事なのは、2つの内角がわかれば、3つ目の角は1つに決まるということです。

$$C = 180^\circ - (A + B)$$

三角形の欠けた角度の求め方

内角の和の公式を、次の2つの手順で使います。

まず、わかっている2つの内角を足します。

次に、その合計を $180^\circ$ から引きます。

例題：3つ目の角を求める

ある三角形の角が $47^\circ$ と $68^\circ$ だとします。3つ目の角を求め、角による種類も答えましょう。

まず、わかっている角を足します。

$$47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$$

次に、$180^\circ$ から引きます。

$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

したがって、3つ目の角は $65^\circ$ です。角の組は $47^\circ$、$68^\circ$、$65^\circ$ なので、3つとも $90^\circ$ 未満です。よって、この三角形は鋭角三角形です。

角による三角形の種類

鋭角三角形

3つの内角がすべて $90^\circ$ 未満の三角形です。

直角三角形

1つの内角がちょうど $90^\circ$ の三角形です。

鈍角三角形

1つの内角が $90^\circ$ より大きい三角形です。

内角の和は $180^\circ$ なので、三角形には直角は多くても1つ、鈍角も多くても1つしかありません。

三角形の角度でよくある間違い

ユークリッド幾何以外でこの公式を使う

$180^\circ$ の公式は、ふつうの平面幾何で成り立つものです。学校の問題の多くはこの設定ですが、平らな平面上の図形でない場合は条件を確認する必要があります。

内角と外角を混同する

三角形の内角の和の公式で使うのは、3つの内角です。辺を延長してできる外側の角ではありません。

図の見た目だけで分類する

概形だけでは誤解しやすいことがあります。鈍角に見える三角形でも実際にはそうでないことがあるので、見た目ではなく角度の値で分類しましょう。

度の単位を忘れる

問題が度で与えられているなら、角度の種類がはっきりわかるように度記号を付けておきましょう。

ミスを見つけるための簡単なチェック

正三角形では、3つの角はすべて等しいので、それぞれ $60^\circ$ です。

二等辺三角形では、等しい辺に向かい合う角は等しくなります。これは、$180^\circ$ の合計を使う前に使える、もう1つの関係です。

こうした事実は、答えが怪しく見えるときの簡単な確認に役立ちます。

三角形の内角の和の公式が役立つ場面

内角の和の公式は、基本的な幾何、三角形の証明、作図の問題、三角比の設定などで出てきます。二等辺三角形、直角三角形、合同な三角形、相似な三角形についての、より具体的な性質を使う前の最初の一歩になることがよくあります。

また、答えの妥当性を確かめるのにも役立ちます。標準的な平面幾何の問題で、3つの内角の和が $180^\circ$ にならないなら、途中のどこかで間違えています。

似た問題に挑戦してみよう

角が $35^\circ$ と $90^\circ$ の三角形を考えてみましょう。3つ目の角を求め、その三角形が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれかを判断してください。

解いたあとで確認したいなら、ソルバーで手順を見比べて、3つの内角の和がちゃんと $180^\circ$ になっているか確かめましょう。