Reguła Cramera — rozwiązywanie układów równań wyznacznikami

Reguła Cramera służy do rozwiązywania kwadratowego układu równań liniowych za pomocą wyznaczników. Zastępujesz po jednej kolumnie, obliczasz wyznacznik i dzielisz przez wyznacznik oryginalnej macierzy współczynników. Działa tylko wtedy, gdy $\det(A) \ne 0$.

Jeśli układ jest zapisany w postaci

$$Ax = b$$

i $A$ jest macierzą kwadratową oraz $\det(A) \ne 0$, to układ ma jedno rozwiązanie i reguła Cramera pozwala wyznaczyć każdą zmienną bezpośrednio.

Wzór reguły Cramera

Dla zmiennej $x_i$ reguła ma postać

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

gdzie $A_i$ to macierz otrzymana przez zastąpienie $i$-tej kolumny macierzy $A$ wyrazami wolnymi z $b$.

Ten warunek ma znaczenie. Jeśli $\det(A) = 0$, mianownik jest równy zero, więc reguła Cramera nie daje jednego rozwiązania.

Kiedy można użyć reguły Cramera

Używaj jej tylko wtedy, gdy wszystkie te warunki są spełnione:

1. Układ ma tyle samo równań co niewiadomych.
2. Macierz współczynników jest kwadratowa.
3. Wyznacznik macierzy współczynników jest różny od zera.

Jeśli choć jeden warunek nie jest spełniony, zatrzymaj się na tym etapie. Na przykład zerowy wyznacznik oznacza, że układ może nie mieć rozwiązań albo mieć ich nieskończenie wiele, więc reguła Cramera nie jest właściwym narzędziem do wyznaczenia jednego rozwiązania.

Rozwiąż układ $2 \times 2$ krok po kroku

Rozwiąż

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Najpierw wyznacz macierz współczynników i kolumnę wyrazów wolnych:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Oblicz wyznacznik macierzy $A$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

Ponieważ $\det(A) = -3 \ne 0$, układ ma jedno rozwiązanie, więc można zastosować regułę Cramera.

Wyznacz $x$

Zastąp pierwszą kolumnę macierzy $A$ przez $b$:

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Następnie

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

Teraz podziel przez oryginalny wyznacznik:

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

Wyznacz $y$

Zastąp drugą kolumnę macierzy $A$ przez $b$:

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Następnie

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

Ponownie podziel przez $\det(A)$:

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

Zatem rozwiązaniem jest

$$(x,y) = (2,1)$$

To cały schemat: jeden wyznacznik dla oryginalnej macierzy, a potem jeszcze po jednym wyznaczniku dla każdej zmiennej.

Dlaczego reguła Cramera jest ważna

Reguła Cramera zwykle nie jest najszybszą metodą dla dużego układu. Uczniowie poznają ją, ponieważ w przejrzysty sposób łączy trzy idee:

• rozwiązywanie układów równań liniowych
• wyznaczniki
• warunek istnienia jednego rozwiązania

Jeśli $\det(A) \ne 0$, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli $\det(A) = 0$, coś się załamuje: może nie być żadnego rozwiązania albo może być ich nieskończenie wiele.

Typowe błędy przy stosowaniu reguły Cramera

Używanie jej, gdy $\det(A) = 0$

To najważniejsze sprawdzenie. Reguła Cramera opiera się na dzieleniu przez $\det(A)$, więc zerowy wyznacznik oznacza, że metoda nie ma zastosowania do wyznaczenia jednego rozwiązania.

Zastępowanie niewłaściwej kolumny

Aby wyznaczyć $x$, zastąp kolumnę odpowiadającą $x$. Aby wyznaczyć $y$, zastąp kolumnę odpowiadającą $y$. Kolumna wyrazów wolnych nie jest dopisywana; zastępuje jedną kolumnę na raz.

Traktowanie jej jako najlepszej metody dla każdego układu

Dla większych układów redukcja wierszy lub metody numeryczne są zwykle bardziej praktyczne. Reguła Cramera jest najbardziej użyteczna dla małych układów i do zrozumienia roli wyznaczników.

Kiedy stosuje się regułę Cramera

Regułę Cramera najczęściej spotkasz na kursach algebry i algebry liniowej, gdy celem jest zrozumienie metody, a nie szybkość. Jest szczególnie przydatna wtedy, gdy chcesz pokazać, jak każda zmienna zależy od współczynników i wyrazów wolnych.

W praktyce jest najwygodniejsza dla układów $2 \times 2$, a czasem także $3 \times 3$. Powyżej tego rozmiaru obliczenia wyznaczników szybko się rozrastają, więc przestaje być metodą domyślną.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj rozwiązać

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

Najpierw oblicz $\det(A)$. Jeśli jest niezerowy, zastępuj po jednej kolumnie i wyznacz $x$ oraz $y$. Gdy skończysz liczyć ręcznie, porównaj swoje ustawienie z solverem macierzowym, aby sprawdzić zarówno wyznaczniki, jak i końcową odpowiedź.