Macierze — typy, działania i wyznaczniki

Macierze to prostokątne tablice liczb ułożonych w wierszach i kolumnach. Aby szybko zrozumieć macierze, skup się na czterech rzeczach: rozmiarze, typowych rodzajach macierzy, tym, które działania są określone, oraz na tym, co mówi wyznacznik, gdy macierz jest kwadratowa.

Macierz może porządkować dane, ale we wczesnej algebrze liniowej reprezentuje też regułę przekształcającą wektory. Nie potrzebujesz pełnej teorii, żeby zacząć. Najważniejsze jest zrozumienie, jak rozmiar wyznacza reguły.

Rozmiar macierzy: wiersze i kolumny

Rozmiar macierzy zapisuje się jako liczba wierszy razy liczba kolumn. Na przykład

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$

to macierz $2 \times 3$, ponieważ ma $2$ wiersze i $3$ kolumny.

Ten rozmiar nie jest tylko etykietą. Określa, co macierz może robić i które działania mają sens.

Typowe rodzaje macierzy

W większości zadań wprowadzających do macierzy pojawia się niewielki zestaw typów.

Macierze wierszowe i kolumnowe

Macierz wierszowa ma jeden wiersz, na przykład macierz $1 \times 3$. Macierz kolumnowa ma jedną kolumnę, na przykład macierz $3 \times 1$.

Macierze kwadratowe

Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn, na przykład $2 \times 2$ lub $3 \times 3$. Wyznaczniki i macierze odwrotne są określone tylko dla macierzy kwadratowych.

Macierze diagonalne

Macierz diagonalna jest kwadratowa i ma zera wszędzie poza ewentualnie główną przekątną. Na takich macierzach często pracuje się łatwiej, ponieważ ważne wartości są skupione właśnie na tej przekątnej.

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa jest odpowiednikiem liczby $1$ przy mnożeniu. Dla przypadku $2 \times 2$,

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

a mnożenie przez $I$ pozostawia zgodną macierz bez zmian.

Macierz zerowa

Macierz zerowa ma wszystkie elementy równe $0$. Może mieć różne rozmiary i działa jak zero w dodawaniu dla macierzy tego samego rozmiaru.

Działania na macierzach: co jest określone, a co nie

Dodawanie i odejmowanie

Macierze można dodawać lub odejmować tylko wtedy, gdy mają dokładnie ten sam rozmiar. Działanie wykonuje się element po elemencie.

Jeśli rozmiary są różne, działanie nie jest określone.

Mnożenie przez skalar

Jeśli mnożysz macierz przez liczbę, zwaną skalarem, mnożysz każdy element przez tę liczbę.

Na przykład

$$3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy podlega innej regule. Jeśli $A$ ma rozmiar $m \times n$, a $B$ ma rozmiar $n \times p$, to iloczyn $AB$ jest określony, a wynikiem jest macierz $m \times p$.

Wymiary wewnętrzne muszą się zgadzać. To jest warunek:

$$(m \times n)(n \times p)$$

jest określone, ale

$$(m \times n)(r \times p)$$

nie jest określone, gdy $n \ne r$.

Kolejność też ma znaczenie. Nawet gdy oba iloczyny istnieją, $AB$ i $BA$ zazwyczaj są różne.

Transpozycja

Transpozycja macierzy zamienia wiersze z kolumnami. Macierz $2 \times 3$ staje się macierzą $3 \times 2$.

Ma to znaczenie w wielu wzorach, ponieważ zmienia sposób, w jaki macierz ustawia się przy mnożeniu.

Wyznaczniki: co nam mówią

Wyznacznik to pojedyncza liczba przypisana do macierzy kwadratowej. Nie jest określony dla macierzy niekwadratowych.

Dla macierzy $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

wyznacznik ma postać

$$\det(A) = ad - bc$$

Na poziomie początkującym najbardziej użyteczna interpretacja jest taka:

• Jeśli $\det(A) \ne 0$, to macierz jest odwracalna.
• Jeśli $\det(A) = 0$, to macierz nie jest odwracalna.

Geometrycznie, dla macierzy $2 \times 2$, $|\det(A)|$ daje współczynnik, przez który skalowane są pola. Znak mówi, czy orientacja jest zachowana, czy odwrócona.

Przykład z macierzą

Weźmy

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

To jest macierz kwadratowa, więc jej wyznacznik jest określony. Obliczamy go ze wzoru $ad-bc$:

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

Ponieważ $\det(A) = 5 \ne 0$, macierz jest odwracalna.

Ten jeden przykład łączy główne idee:

• Macierz ma rozmiar $2 \times 2$, więc jest kwadratowa.
• Kwadratowa oznacza, że wyznacznik jest określony.
• Niezerowy wyznacznik oznacza, że macierz ma macierz odwrotną.
• Jako przekształcenie płaszczyzny macierz skaluje zorientowane pole przez $5$.

Dlatego wyznacznik jest ważny. To nie jest tylko liczba, którą się oblicza. Mówi coś strukturalnego o macierzy.

Typowe błędy przy macierzach

Jednym z częstych błędów jest próba dodawania macierzy o różnych rozmiarach. Innym jest próba mnożenia macierzy bez wcześniejszego sprawdzenia wymiarów wewnętrznych.

Uczniowie często też zakładają, że $AB=BA$. Dla macierzy jest to zazwyczaj fałsz.

Przy wyznacznikach głównym błędem jest stosowanie ich do macierzy niekwadratowych. Inną częstą pomyłką jest zapamiętanie wzoru dla $2 \times 2$ jako $ad+bc$ zamiast $ad-bc$.

Gdzie używa się macierzy

Macierze pojawiają się wszędzie tam, gdzie trzeba jednocześnie uporządkować zależności między wieloma wielkościami. Na początkowych kursach używa się ich do układów równań i przekształceń liniowych.

Pojawiają się też w grafice komputerowej, analizie danych, modelach inżynierskich i obliczeniach numerycznych. Szczegóły różnią się w zależności od dziedziny, ale te same podstawowe reguły dotyczące rozmiaru, mnożenia i odwracalności nadal mają znaczenie.

Spróbuj podobnego zadania z macierzą

Wybierz małą macierz $2 \times 2$ i odpowiedz na cztery pytania: jaki ma rozmiar, czy jest kwadratowa, jaki jest jej wyznacznik i czy ma macierz odwrotną?

Jeśli potem użyjesz kalkulatora, najpierw przewidź te odpowiedzi, zanim zaczniesz liczyć. Dzięki temu narzędzie będzie służyć jako sprawdzenie, a nie zastępstwo zrozumienia.