회전 운동 — 토크, 각운동량, 관성모멘트

회전 운동은 어떤 축을 중심으로 도는 운동입니다. 이를 빠르게 이해하려면 세 가지를 물어보면 됩니다. 무엇이 물체를 돌리려 하는가? 그 회전을 바꾸기 얼마나 어려운가? 물체는 이미 어떤 회전 운동을 가지고 있는가?

이 세 질문은 세 가지 핵심 개념으로 이어집니다. 바로 토크, 관성모멘트, 각운동량입니다. 토크는 힘의 회전 효과를 나타냅니다. 관성모멘트는 선택한 축에 대해 물체가 각가속도에 얼마나 강하게 저항하는지를 나타냅니다. 각운동량은 회전 운동의 양을 나타내며, 알짜 외부 토크가 0이면 일정하게 유지됩니다.

많은 입문 문제에서는 다음과 같은 비유가 도움이 됩니다.

• 토크는 힘의 회전 버전이다
• 관성모멘트는 질량의 회전 버전이다
• 각운동량은 선운동량의 회전 버전이다

하지만 이 비유는 출발점일 뿐입니다. 회전 운동에서는 매 단계마다 축의 선택이 중요합니다.

고정축 모델

강체가 고정된 축을 중심으로 회전할 때, 기본이 되는 식은

$$\tau_{net} = I\alpha$$

입니다.

여기서 $\tau_{net}$은 그 축에 대한 알짜 외부 토크, $I$는 그 축에 대한 관성모멘트, $\alpha$는 각가속도입니다.

같은 고정축 상황에서, 그 축에 대한 각운동량은

$$L = I\omega$$

입니다.

여기서 $\omega$는 각속도이며, 방향은 부호 규약이나 오른손 법칙으로 처리합니다. 이 식은 모든 강체에 대해 가장 일반적인 법칙은 아니므로, 문제가 분명히 하나의 고정축만 다룰 때 사용해야 합니다.

토크: 지레 효과를 가진 힘

토크는 어떤 축에 대한 힘의 회전 효과를 나타냅니다. 힘의 크기가 커도, 축에 아주 가깝게 작용하거나 축을 거의 향하는 방향으로 작용하면 토크는 작을 수 있습니다.

그 크기는

$$\tau = rF\sin\theta$$

입니다.

여기서 $r$은 축에서 힘이 작용하는 점까지의 거리, $F$는 힘의 크기, $\theta$는 $\vec{r}$와 $\vec{F}$ 사이의 각도입니다.

그래서 문은 경첩에서 멀리 떨어진 곳을, 문에 거의 수직으로 밀 때 쉽게 열립니다. 같은 힘이라도 경첩 가까이에서 밀면 훨씬 작은 토크만 생깁니다.

관성모멘트: 질량이 어디에 있는가

관성모멘트는 질량이 축에 대해 어떻게 분포하는지를 알려줍니다. 축에서 더 멀리 있는 질량일수록 더 크게 기여하므로, 이 양은 거리에 대한 제곱에 의존합니다.

이산적인 입자들에 대해서는

$$I = \sum m_i r_i^2$$

이고, 연속체에서는 이 개념이 적분으로 바뀝니다. 하지만 실용적으로 가장 중요한 점은 더 단순합니다. 같은 물체라도 축이 다르면 관성모멘트가 달라질 수 있습니다.

그래서 같은 긴 막대라도 중심을 축으로 돌릴 때가 한쪽 끝을 축으로 돌릴 때보다 더 쉽게 회전합니다. 막대 자체는 바뀌지 않았는데도 그렇습니다.

각운동량: 일정하게 유지되는 것

각운동량은 회전 운동을 나타내는 양이며, 특히 토크가 작거나 0일 때 매우 강력한 개념이 됩니다.

가장 중요한 법칙은

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

입니다.

따라서 어떤 축에 대한 알짜 외부 토크가 0이면, 그 축에 대한 각운동량은 일정하게 유지됩니다.

이 보존 개념은 익숙한 많은 현상을 설명합니다. 스케이터가 팔을 몸쪽으로 당기면 $I$가 줄어들고, 외부 토크를 무시할 수 있으며 각운동량이 같게 유지된다면 $\omega$는 증가합니다.

풀이 예제: 일정한 토크를 받는 원판

질량 $M = 2.0\ \mathrm{kg}$, 반지름 $R = 0.50\ \mathrm{m}$인 균일한 원판이 중심축을 기준으로 회전한다고 합시다. 여기에 일정한 알짜 토크 $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$가 작용합니다. 처음에는 정지해 있다고 가정합니다.

균일한 원판의 중심축에 대한 관성모멘트는

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

이므로,

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

입니다.

이제

$$\tau_{net} = I\alpha$$

를 사용해 각가속도를 구하면,

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

입니다.

$2.0\ \mathrm{s}$ 후의 각속도는

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

입니다.

그러면 각운동량은

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

입니다.

이 예제는 전체 흐름을 잘 보여줍니다.

1. 토크가 각가속도를 만든다
2. 가속도의 크기는 관성모멘트에 따라 달라진다
3. 물체가 회전하고 나면 각운동량을 가진다

회전 운동에서 자주 하는 실수

토크를 그냥 힘의 다른 말로 생각하기

힘과 토크는 관련이 있지만 같은 물리량은 아닙니다. 토크는 축에 대해 힘이 어디에, 어떤 방향으로 작용하는지에 따라 달라집니다.

관성모멘트가 축에 따라 달라진다는 점을 잊기

물체마다 하나의 보편적인 $I$가 있는 것이 아닙니다. 관성모멘트를 고르거나 계산하기 전에 반드시 축을 먼저 정해야 합니다.

모델을 확인하지 않고 $L = I\omega$를 사용하기

이 식은 흔한 고정축 문제에서는 깔끔하게 성립합니다. 하지만 더 일반적인 강체 운동에서는 각운동량이 항상 각속도와 평행한 것은 아닙니다.

토크와 각운동량의 방향을 무시하기

이 물리량들은 방향을 가집니다. 많은 수업 문제에서는 부호 규약이나 오른손 법칙으로 그 방향을 처리하므로, 너무 일찍 부호를 무시하면 답의 방향이 뒤바뀔 수 있습니다.

회전 운동이 나타나는 곳

회전 운동은 바퀴, 터빈, 도르래, 모터, 행성, 자이로스코프, 분자에서 나타납니다. 공학과 물리학에서는 회전, 스핀, 공전과 관련된 효과가 중요할 때 이것이 자연스러운 언어가 됩니다.

또한 이것은 선형 역학과도 직접 연결됩니다. 같은 아이디어의 회전 버전과 선형 버전을 나란히 놓으면 많은 회전 문제가 더 쉬워집니다.

• force $\leftrightarrow$ torque
• mass $\leftrightarrow$ moment of inertia
• momentum $\leftrightarrow$ angular momentum

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 원판을 생각하되, 질량은 그대로 두고 반지름만 두 배로 늘려 보세요. $I$는 $R^2$에 따라 변하므로 관성모멘트는 더 커지고, 같은 토크라도 각가속도는 더 작아집니다.

직접 계산해 보세요. 새로운 $I$를 구한 다음, 같은 $2.0\ \mathrm{s}$ 후의 새로운 $\alpha$와 새로운 $L$을 구해 보세요.