Como Resolver Equações Quadráticas

Para resolver uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão e encontre o valor ou os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira. A forma padrão é

$$ax^2 + bx + c = 0$$

com $a \ne 0$. A maioria dos exercícios dos alunos se resume a três métodos: fatoração, completar quadrados ou usar a fórmula de Bhaskara. A principal habilidade é escolher o método mais simples para a equação que está diante de você.

O Que Significa Resolver Uma Equação Quadrática

Você está procurando as raízes, ou soluções, da equação. Em um gráfico, esses são os valores de $x$ em que a parábola encontra o eixo $x$.

Uma equação quadrática pode ter duas soluções reais, uma solução real repetida ou nenhuma solução real. Se você estiver trabalhando com números complexos, toda equação quadrática ainda terá duas soluções contando a multiplicidade.

Como Escolher Um Método

Antes de fazer qualquer álgebra, passe todos os termos para um lado para que o outro lado seja $0$. Isso torna a estrutura mais fácil de enxergar e ajuda você a decidir qual método se encaixa melhor.

• Se a expressão fatorar facilmente, a fatoração costuma ser o caminho mais rápido.
• Se a equação estiver próxima de um padrão de quadrado perfeito, completar quadrados pode ser eficiente.
• Se nenhuma das duas abordagens for conveniente, a fórmula de Bhaskara funciona para qualquer equação quadrática.

Mais um atalho ajuda: o discriminante,

$$b^2 - 4ac$$

que informa que tipo de soluções reais esperar.

• Se $b^2 - 4ac > 0$, há duas soluções reais distintas.
• Se $b^2 - 4ac = 0$, há uma solução real repetida.
• Se $b^2 - 4ac < 0$, não há soluções reais.

Isso não resolve a equação por si só, mas mostra que tipo de resposta deve fazer sentido antes de você começar a calcular.

Os Três Métodos Principais

Fatoração

A fatoração funciona quando a equação quadrática pode ser reescrita como um produto, por exemplo

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Depois, use a propriedade do produto nulo: se um produto é $0$, pelo menos um dos fatores deve ser $0$. Portanto, as soluções são $x = 2$ e $x = 3$.

Completando Quadrados

Completar quadrados reescreve a equação quadrática em uma forma como

$$(x - h)^2 = k$$

Isso é especialmente útil quando fatorar é incômodo e você quer enxergar a equação como uma expressão ao quadrado.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara sempre se aplica quando a equação está na forma padrão:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ela é o método geral mais confiável, mas nem sempre é o mais rápido se a equação quadrática fatorar imediatamente.

Exemplo Resolvido: Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$

Essa equação já está na forma padrão, então primeiro verifique se ela fatora. Você precisa de dois números que multiplicados deem $6$ e somados deem $-5$. Esses números são $-2$ e $-3$, então

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

Agora resolva

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Agora iguale cada fator a zero:

$$x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 3 = 0$$

Portanto, as soluções são

$$x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 3$$

Verifique as duas respostas na equação original:

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

As duas verificações funcionam, então as soluções estão corretas.

Erros Comuns

Um erro comum é escolher um método antes de passar todos os termos para um lado. Por exemplo, resolver $x^2 = 5x - 6$ fica muito mais fácil depois de reescrever como $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Outro erro é perder uma das soluções. Equações quadráticas podem ter duas soluções reais, então, depois de fatorar ou usar o $\pm$ na fórmula de Bhaskara, certifique-se de manter os dois casos quando eles existirem.

Um terceiro erro é usar a fórmula de Bhaskara com os sinais errados para $a$, $b$ ou $c$. Isso geralmente acontece quando a equação não é escrita primeiro na forma padrão.

Onde Você Usa Isso

Equações quadráticas aparecem em álgebra, construção de gráficos, otimização e problemas de movimento. Se uma relação inclui uma variável ao quadrado, resolver uma equação quadrática costuma ser a etapa que fornece o valor significativo de $x$.

O método depende da equação. Uma equação quadrática limpa e fatorável recompensa o reconhecimento de padrões. Uma mais complicada geralmente é melhor resolvida com a fórmula de Bhaskara.

Tente Um Problema Parecido

Tente resolver $x^2 - 7x + 12 = 0$ e escolha o método antes de calcular. Um próximo passo útil é resolver a mesma equação por fatoração e pela fórmula de Bhaskara, depois comparar qual método parece mais direto.