인수분해 하는 법

인수분해 하는 법을 한마디로 요약하자면, "공통인수가 있다면 먼저 묶어내기", "식의 형태에 맞는 나누기 방법 찾기", "마지막으로 전개해서 확인하기"입니다. 특히 이차식에서는 곱과 합이 모두 일치하는 수를 찾는 것이 핵심입니다.

예를 들어 $x^2 + 5x + 6$은 전개했을 때 원래대로 돌아오는 두 식의 곱을 찾으면 되므로,

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

라고 쓸 수 있습니다. 이것이 바로 인수분해입니다.

인수분해란?

인수분해는 합의 형태로 쓰인 식을 곱의 형태로 바꾸는 것입니다. 전개가 '곱셈을 펼치는 작업'이라면, 인수분해는 그 반대 과정이라고 할 수 있습니다.

이 형태로 바꾸면 방정식을 풀기 쉬워지거나 식의 구조를 파악하기가 훨씬 수월해집니다. 다만, 항상 정수만으로 간단하게 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다.

가장 먼저 확인해야 할 것

가장 먼저 살펴봐야 할 것은 모든 항에 공통으로 들어있는 '공통인수'입니다. 이 단계를 건너뛰면 이후의 형태가 잘 보이지 않을 수 있습니다.

예를 들어

$6x^2 + 9x$

은 두 항 모두에 $3x$이 있으므로,

$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$

와 같이 만듭니다. 이렇게 하는 것만으로도 충분히 인수분해가 된 것입니다.

이차식의 기본적인 방법

$x^2 + bx + c$ 형태라면, 다음 조건을 동시에 만족하는 두 수를 찾습니다.

1. 곱해서 $c$이 되는 수
2. 더해서 $b$이 되는 수

이 방법은 $x^2$의 계수가 $1$일 때 특히 유용하게 사용할 수 있는 생각법입니다.

예제: $x^2 + 7x + 12$을 인수분해하기

여기서는 곱이 $12$이고, 합이 $7$가 되는 두 수를 찾습니다.

$3 \times 4 = 12,\qquad 3 + 4 = 7$

조건에 맞는 수는 $3$과 $4$이므로,

$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$

가 됩니다.

확인을 위해 전개해 보면,

$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

가 되어 원래 식으로 돌아옵니다. 따라서 인수분해가 올바르게 되었습니다.

자주 하는 실수

1. 공통인수를 놓치는 경우: 예를 들어 $4x^2 - 8x$은 먼저 $4x$를 묶어내어 $4x(x - 2)$으로 보는 것이 자연스럽습니다.
2. 곱은 맞지만 합이 맞지 않는 수를 선택하는 경우: 이차식에서는 두 조건이 모두 필요합니다.
3. 부호를 잘못 적용하는 경우: 특히 $c$이 음수일 때는 양수와 음수가 섞인 두 수를 고려해야 합니다.
4. 확인 전개를 생략하는 경우: 마지막에 다시 전개해 보는 것만으로도 많은 실수를 잡아낼 수 있습니다.

언제 사용하나요?

인수분해는 이차방정식을 풀 때, 식을 간단히 만들 때, 그래프의 교점을 생각할 때 자주 사용합니다. 특히 $ax^2 + bx + c = 0$ 형태에서는 인수분해가 가능하면 해를 훨씬 쉽게 읽어낼 수 있습니다.

반면, 모든 식이 즉시 인수분해되는 것은 아닙니다. 정수로는 나누기 어려운 식도 있기 때문에, 그런 경우에는 완전제곱식 만들기(평방완성)나 근의 공식으로 넘어갑니다.

다음 단계

이제 $x^2 - x - 12$을 직접 인수분해해 보세요. 곱이 $-12$이고 합이 $-1$가 되는 두 수를 찾고, 마지막에 전개해서 확인하면 과정은 동일합니다.

풀이 과정이 맞는지 비교하고 싶을 때는, 손으로 전개 체크를 한 뒤에 같은 식을 다른 풀이 방법으로도 시도해 보면 이해도가 훨씬 높아질 것입니다.