최대공약수와 최소공배수 — 구하는 방법, 빠른 요령, 예제

HCF는 두 개 이상의 수를 나머지 없이 정확히 나누는 가장 큰 정수입니다. LCM은 그 수들 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 정수입니다.

$12$와 $18$의 경우 HCF는 $6$이고 LCM은 $36$입니다. HCF는 가장 크게 똑같이 묶고 싶을 때나 분수를 약분할 때 사용합니다. LCM은 공통분모가 필요할 때나 반복되는 주기가 언제 다시 일치하는지 알고 싶을 때 사용합니다.

HCF와 LCM: 핵심 개념

약수는 어떤 수를 나머지 없이 나누는 수입니다. 배수는 어떤 수에 정수를 곱해서 얻는 수입니다.

그래서 핵심 차이는 다음과 같습니다:

• HCF는 가장 큰 공통 약수를 찾습니다.
• LCM은 가장 작은 공통 배수를 찾습니다.

학교 수학에서는 많은 경우 HCF를 GCF나 GCD와 같은 뜻으로 사용합니다. 지역에 따라 이름은 다르지만, 계산의 개념은 같습니다.

HCF는 언제 쓰고 LCM은 언제 쓸까

문제가 어떤 것을 가장 큰 같은 부분으로 나누는 것인지, 또는 분수를 약분하는 것인지 묻는다면 HCF를 사용합니다.

주기를 맞추는 문제, 공통분모를 찾는 문제, 또는 두 수가 처음으로 함께 나누어떨어지는 수를 묻는다면 LCM을 사용합니다.

빠르게 구별하는 방법은 다음과 같습니다:

• "가장 큰 공통 부분이 무엇인가?"는 HCF입니다.
• "처음으로 같은 전체가 되는 수는 무엇인가?"는 LCM입니다.

HCF와 LCM 구하는 방법

1. 나열하는 방법

작은 수에서는 나열하는 방법이 가장 빠른 경우가 많습니다.

HCF를 구하려면 약수를 나열하고, 그중 가장 큰 공통 약수를 고릅니다.

LCM을 구하려면 배수를 나열하고, 그중 처음으로 공통인 수를 고릅니다.

2. 소인수분해 방법

더 큰 양의 정수에서는 소인수분해가 보통 더 깔끔합니다.

각 수를 소수들의 곱으로 나타냅니다. 그런 다음:

• HCF는 공통으로 들어 있는 소수만 남기고, 각 소수의 지수는 더 작은 것을 사용합니다.
• LCM은 나타나는 모든 소수를 포함하고, 각 소수의 지수는 더 큰 것을 사용합니다.

이 방법이 통하는 이유는 HCF는 두 수 모두에 들어맞아야 하고, LCM은 두 수를 모두 포함할 만큼 충분한 소인수를 가져야 하기 때문입니다.

예제: $12$와 $18$의 HCF와 LCM

먼저 소인수분해를 합니다:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

HCF

공통 소인수는 $2$와 $3$입니다. 각각 더 작은 지수를 사용합니다:

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$$

LCM

나타나는 모든 소인수를 포함하고, 각각 더 큰 지수를 사용합니다:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

따라서 이 두 수에 대해,

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 6 \qquad \text{and} \qquad \mathrm{LCM}(12,18) = 36$$

두 수에 대한 빠른 공식

두 양의 정수 $a$와 $b$에 대해,

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

따라서 하나를 이미 알고 있다면, 다른 하나도 쉽게 구할 수 있는 경우가 많습니다:

$$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$$

여기서는 조건이 중요합니다. 이 간단한 형태의 공식은 두 양의 정수에 대해서만 적용됩니다.

HCF와 LCM에서 자주 하는 실수

약수와 배수를 헷갈리기

HCF는 원래 수를 나누는 수에 관한 것입니다. LCM은 원래 수들이 나누어떨어지는 수에 관한 것입니다.

소인수분해에서 지수를 잘못 쓰기

HCF는 더 작은 지수를 사용합니다. LCM은 더 큰 지수를 사용합니다. 이 규칙을 바꾸면 바로 오답이 나옵니다.

공통인 수를 찾았지만 맞는 수를 고르지 않기

$2$와 $3$은 모두 $12$와 $18$의 공약수이지만, 둘 다 최대공약수는 아닙니다. 또 $72$는 $12$와 $18$의 공배수이지만, 최소공배수는 아닙니다.

조건을 확인하지 않고 곱 공식 쓰기

공식

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

은 두 양의 정수에 대한 표준 확인 방법입니다. 여러 수가 나오는 모든 문제에 무조건 적용하는 주된 방법은 아닙니다.

HCF와 LCM은 어디에 쓰일까

HCF는 분수를 약분할 때와 양을 가장 큰 같은 묶음으로 나눌 때 사용합니다.

LCM은 공통분모를 구할 때와, 두 반복되는 일이 다시 함께 일어나는 시점을 찾는 시간 문제에 사용합니다.

예를 들어, 다음 분수를 약분하려면

$$\frac{12}{18},$$

분자와 분모를 HCF인 $6$으로 나눕니다:

$$\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

분모가 $12$와 $18$인 분수를 더한다면, LCM인 $36$이 편리한 공통분모가 됩니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

소인수분해를 이용해 $20$과 $30$의 HCF와 LCM을 구해 보세요. 그런 다음 다음 식으로 결과를 확인해 보세요:

$$\mathrm{HCF}(20,30) \cdot \mathrm{LCM}(20,30) = 20 \cdot 30.$$

양변이 같다면, 방법을 제대로 이해한 것입니다.