행렬 — 종류, 연산, 행렬식

행렬은 수를 행과 열에 맞춰 직사각형 형태로 배열한 것입니다. 행렬을 빠르게 이해하려면 네 가지에 집중하면 됩니다. 크기, 자주 나오는 행렬의 종류, 어떤 연산이 정의되는지, 그리고 정사각행렬일 때 행렬식이 무엇을 알려주는지입니다.

행렬은 데이터를 정리하는 데 쓰일 수 있지만, 초반 선형대수에서는 벡터를 변환하는 규칙을 나타내기도 합니다. 시작할 때부터 전체 이론을 모두 알 필요는 없습니다. 핵심은 크기가 규칙을 어떻게 결정하는지 아는 것입니다.

행렬의 크기: 행과 열

행렬의 크기는 행 × 열로 씁니다. 예를 들어,

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$

는 $2$개의 행과 $3$개의 열이 있으므로 $2 \times 3$ 행렬입니다.

이 크기는 단순한 이름표가 아닙니다. 행렬이 무엇을 할 수 있는지, 어떤 연산이 가능한지를 결정합니다.

자주 나오는 행렬의 종류

기초 행렬 문제에서는 몇 가지 대표적인 종류가 반복해서 나옵니다.

행행렬과 열행렬

행행렬은 행이 하나인 행렬로, 예를 들어 $1 \times 3$ 행렬이 있습니다. 열행렬은 열이 하나인 행렬로, 예를 들어 $3 \times 1$ 행렬이 있습니다.

정사각행렬

정사각행렬은 행의 수와 열의 수가 같은 행렬로, $2 \times 2$ 또는 $3 \times 3$ 같은 형태입니다. 행렬식과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의됩니다.

대각행렬

대각행렬은 정사각행렬이면서 주대각선 이외의 원소가 모두 $0$인 행렬입니다. 중요한 값이 그 대각선에 모여 있기 때문에 계산이 더 쉬운 경우가 많습니다.

단위행렬

단위행렬은 곱셈에서 숫자 $1$에 해당하는 행렬입니다. $2 \times 2$인 경우는

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

이며, $I$를 곱해도 크기가 맞는 행렬은 바뀌지 않습니다.

영행렬

영행렬은 모든 원소가 $0$인 행렬입니다. 크기는 여러 가지일 수 있으며, 같은 크기의 행렬에 대해서는 덧셈의 영원처럼 작용합니다.

행렬 연산: 무엇이 정의되고 무엇이 아닌가

덧셈과 뺄셈

행렬의 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 크기가 정확히 같을 때만 가능합니다. 계산은 각 위치의 원소끼리 합니다.

크기가 다르면 그 연산은 정의되지 않습니다.

스칼라배

행렬에 어떤 수를 곱하는 것을 스칼라배라고 합니다. 이때는 모든 원소에 그 수를 곱합니다.

예를 들어,

$$3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 다른 규칙을 따릅니다. $A$가 $m \times n$이고 $B$가 $n \times p$이면, $AB$는 정의되며 결과는 $m \times p$ 행렬입니다.

안쪽 차원이 같아야 합니다. 조건은 다음과 같습니다.

$$(m \times n)(n \times p)$$

는 정의되지만,

$$(m \times n)(r \times p)$$

는 $n \ne r$일 때 정의되지 않습니다.

순서도 중요합니다. 두 곱이 모두 존재하더라도 $AB$와 $BA$는 보통 서로 다릅니다.

전치행렬

행렬의 전치는 행과 열을 서로 바꾸는 것입니다. $2 \times 3$ 행렬은 $3 \times 2$ 행렬이 됩니다.

이것은 많은 공식에서 중요합니다. 전치를 하면 곱셈에서 행렬이 맞물리는 방식이 달라지기 때문입니다.

행렬식: 무엇을 알려주는가

행렬식은 정사각행렬에 대응되는 하나의 수입니다. 정사각행렬이 아니면 정의되지 않습니다.

$2 \times 2$ 행렬

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

의 행렬식은

$$\det(A) = ad - bc$$

입니다.

입문 단계에서 가장 유용한 해석은 다음과 같습니다.

• $\det(A) \ne 0$이면, 그 행렬은 가역입니다.
• $\det(A) = 0$이면, 그 행렬은 가역이 아닙니다.

기하적으로는 $2 \times 2$ 행렬에서 $|\det(A)|$가 넓이가 몇 배로 바뀌는지를 나타냅니다. 부호는 방향이 유지되는지 뒤집히는지를 알려줍니다.

행렬 예제

다음을 보겠습니다.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

이 행렬은 정사각행렬이므로 행렬식이 정의됩니다. $ad-bc$로 계산하면

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

입니다.

$\det(A) = 5 \ne 0$이므로, 이 행렬은 가역입니다.

이 한 가지 예에 핵심 개념이 모두 연결되어 있습니다.

• 이 행렬은 $2 \times 2$이므로 정사각행렬입니다.
• 정사각행렬이므로 행렬식이 정의됩니다.
• 행렬식이 $0$이 아니므로 역행렬이 존재합니다.
• 평면을 변환하는 관점에서 보면, 이 행렬은 부호 있는 넓이를 $5$배로 바꿉니다.

그래서 행렬식이 중요합니다. 단순히 계산하는 숫자가 아닙니다. 행렬의 구조에 대한 정보를 알려줍니다.

행렬에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 크기가 다른 행렬을 더하려는 것입니다. 또 다른 실수는 안쪽 차원을 먼저 확인하지 않고 행렬 곱셈을 하려는 것입니다.

학생들은 종종 $AB=BA$라고 생각하기도 합니다. 하지만 행렬에서는 보통 성립하지 않습니다.

행렬식에서는 정사각행렬이 아닌 경우에 적용하는 것이 대표적인 실수입니다. 또 $2 \times 2$ 공식 $ad-bc$를 $ad+bc$로 잘못 외우는 경우도 많습니다.

행렬은 어디에 쓰이는가

행렬은 여러 양 사이의 관계를 한꺼번에 정리해야 하는 곳에서 나타납니다. 초반 과정에서는 연립방정식과 선형변환을 다룰 때 사용됩니다.

또한 컴퓨터 그래픽스, 데이터 분석, 공학 모델, 수치 계산에서도 등장합니다. 분야에 따라 세부 내용은 달라지지만, 크기, 곱셈, 가역성에 관한 핵심 규칙은 여전히 중요합니다.

비슷한 행렬 문제를 직접 해보기

작은 $2 \times 2$ 행렬 하나를 정하고 네 가지를 답해 보세요. 크기는 무엇인지, 정사각행렬인지, 행렬식은 얼마인지, 역행렬이 존재하는지입니다.

그다음 계산기를 쓴다면, 계산하기 전에 먼저 답을 예상해 보세요. 그러면 계산기는 이해를 대신하는 도구가 아니라 확인하는 도구가 됩니다.