크래머 공식 — 행렬식으로 연립방정식 풀기

크래머 공식은 행렬식을 이용해 정사각형 선형 연립방정식을 푸는 방법입니다. 한 번에 한 열씩 바꾸고 행렬식을 계산한 뒤, 원래 계수행렬의 행렬식으로 나눕니다. 이 방법은 $\det(A) \ne 0$일 때만 사용할 수 있습니다.

연립방정식이

$$Ax = b$$

처럼 쓰여 있고, $A$가 정사각행렬이며 $\det(A) \ne 0$이면, 이 연립방정식은 유일해를 가지며 크래머 공식으로 각 변수를 직접 구할 수 있습니다.

크래머 공식의 식

변수 $x_i$에 대해 공식은 다음과 같습니다.

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

여기서 $A_i$는 $A$의 $i$번째 열을 $b$의 상수들로 바꾸어 만든 행렬입니다.

이 조건은 매우 중요합니다. $\det(A) = 0$이면 분모가 0이 되므로, 크래머 공식으로는 유일한 해를 구할 수 없습니다.

크래머 공식을 사용할 수 있는 경우

다음 조건이 모두 참일 때만 사용하세요.

1. 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같다.
2. 계수행렬이 정사각행렬이다.
3. 계수행렬의 행렬식이 0이 아니다.

조건 하나라도 만족하지 않으면 여기서 멈춰야 합니다. 예를 들어 행렬식이 0이면 해가 없거나 무한히 많을 수 있으므로, 크래머 공식은 유일해를 구하는 올바른 도구가 아닙니다.

$2 \times 2$ 연립방정식 단계별 풀이

다음을 풀어 봅시다.

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

먼저 계수행렬과 상수열을 확인합니다.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$A$의 행렬식을 계산합니다.

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

$\det(A) = -3 \ne 0$이므로, 이 연립방정식은 유일해를 가지며 크래머 공식을 적용할 수 있습니다.

$x$ 구하기

$A$의 첫 번째 열을 $b$로 바꿉니다.

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

그러면

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

이제 원래 행렬식으로 나눕니다.

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

$y$ 구하기

$A$의 두 번째 열을 $b$로 바꿉니다.

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

그러면

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

다시 $\det(A)$로 나눕니다.

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

따라서 해는

$$(x,y) = (2,1)$$

입니다.

이것이 전체 패턴입니다. 먼저 원래 행렬의 행렬식을 하나 구하고, 그다음 각 변수마다 행렬식을 하나씩 더 구합니다.

크래머 공식이 중요한 이유

크래머 공식은 큰 연립방정식에서는 보통 가장 빠른 방법이 아닙니다. 그래도 학생들이 이 공식을 배우는 이유는 세 가지 개념을 깔끔하게 연결해 주기 때문입니다.

• 선형 연립방정식 풀이
• 행렬식
• 유일해가 존재하는 조건

$\det(A) \ne 0$이면 연립방정식은 하나의 유일한 해를 가집니다. $\det(A) = 0$이면 문제가 생깁니다. 해가 없거나 무한히 많을 수 있습니다.

크래머 공식에서 자주 하는 실수

$\det(A) = 0$인데 사용하는 경우

이것이 가장 먼저 확인해야 할 점입니다. 크래머 공식은 $\det(A)$로 나누는 과정에 의존하므로, 행렬식이 0이면 이 방법은 유일해를 구하는 데 적용할 수 없습니다.

잘못된 열을 바꾸는 경우

$x$를 구할 때는 $x$열을 바꾸고, $y$를 구할 때는 $y$열을 바꿉니다. 상수열을 옆에 덧붙이는 것이 아니라, 한 번에 한 열씩 바꾸는 것입니다.

모든 연립방정식에 가장 좋은 방법이라고 생각하는 경우

더 큰 연립방정식에서는 가우스 소거법이나 수치적 방법이 보통 더 실용적입니다. 크래머 공식은 작은 연립방정식에서, 그리고 행렬식의 역할을 이해할 때 가장 유용합니다.

크래머 공식은 언제 쓰이나요

보통 크래머 공식은 속도보다 이해가 목표인 대수학이나 선형대수 수업에서 보게 됩니다. 특히 각 변수가 계수와 상수에 어떻게 의존하는지 보여 주고 싶을 때 유용합니다.

실제로는 $2 \times 2$ 연립방정식에서 가장 다루기 편하고, 때로는 $3 \times 3$ 연립방정식에도 사용됩니다. 그보다 커지면 행렬식 계산이 빠르게 복잡해지므로, 기본적인 풀이 방법으로는 잘 쓰이지 않습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 풀어 보세요.

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

먼저 $\det(A)$를 계산하세요. 0이 아니면 한 번에 한 열씩 바꾸어 $x$와 $y$를 구하면 됩니다. 손으로 계산을 마친 뒤에는 행렬 계산기와 비교해 행렬식과 최종 답이 모두 맞는지 확인해 보세요.