지수법칙 — 예제로 배우는 지수의 법칙

지수법칙은 거듭제곱을 곱하거나 나누거나, 어떤 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때 어떻게 계산하는지 알려 줍니다. 식의 구조만 정확히 보면 대부분의 지수 문제는 몇 단계 안에 간단히 정리됩니다.

다음은 주요 지수법칙입니다:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$ $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$$

이 법칙들은 모두 같은 조건에서 쓰이는 것은 아닙니다. 특히 나눗셈이 들어가면 0이 아닌 조건이 중요합니다.

지수가 뜻하는 것

지수는 밑이 인수로 몇 번 곱해지는지를 나타냅니다. 예를 들어,

$$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$

이처럼 같은 수를 반복해서 곱한다는 생각으로 보면, 같은 밑을 곱할 때 왜 지수를 더하는지 이해할 수 있습니다. 같은 인수 묶음을 이어 붙이는 것이기 때문입니다.

예제와 함께 보는 주요 지수법칙

곱셈법칙

밑이 같으면 지수를 더합니다:

$$x^3 \cdot x^5 = x^8$$

이는 $x$가 모두 $3+5$개 인수로 들어 있기 때문에 성립합니다.

나눗셈법칙

밑이 같고 그 밑이 0이 아니면 지수를 뺍니다:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^5$$

공통인 인수를 약분한다고 생각해도 됩니다.

거듭제곱의 거듭제곱

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱합니다:

$$(z^4)^3 = z^{12}$$

이는 반복된 곱셈을 다시 반복하는 것과 같습니다.

곱 또는 몫의 거듭제곱

곱셈과 나눗셈 전체에 지수를 분배합니다:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

0지수와 음의 지수

0이 아닌 모든 밑에 대해,

$$a^0 = 1$$

그리고

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

음의 지수는 답이 음수라는 뜻이 아닙니다. “역수를 취하라”는 뜻입니다.

풀이 예제: 지수법칙으로 식 간단히 하기

다음을 간단히 하세요.

$$\frac{(3x^2)^2 \cdot x^3}{9x}$$

먼저 괄호 안부터 계산합니다:

$$(3x^2)^2 = 3^2 (x^2)^2 = 9x^4$$

그러면 식은 다음과 같이 됩니다:

$$\frac{9x^4 \cdot x^3}{9x}$$

분자의 곱셈법칙을 사용하면,

$$9x^4 \cdot x^3 = 9x^7$$

따라서 이제

$$\frac{9x^7}{9x} = x^6$$

이 한 가지 예제에는 자주 쓰이는 세 가지 과정이 모두 들어 있습니다. 곱에 대한 거듭제곱 분배, 거듭제곱의 거듭제곱에서 지수 곱하기, 그리고 같은 밑을 나눌 때 지수 빼기입니다.

흔한 실수: 지수는 덧셈에는 분배되지 않음

지수법칙은 덧셈에는 같은 방식으로 분배되지 않습니다. 일반적으로,

$$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$

예를 들어,

$$(2+3)^2 = 25$$

하지만

$$2^2 + 3^2 = 13$$

입니다.

이것은 매우 흔한 실수입니다. 곱셈법칙은 덧셈이 아니라 곱셈에만 적용됩니다.

분수 지수에는 조건이 필요함

$a^{1/n}$ 같은 지수도 자주 보게 됩니다. 양의 실수 $a$에 대해,

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

더 일반적으로는,

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

이 규칙은 유용하지만, 정의역이 중요합니다. 기초 대수에서는 $a > 0$일 때 이 규칙을 사용하는 것이 가장 안전한 실수 범위의 해석입니다.

지수법칙에서 자주 하는 실수

1. 나눌 때 지수를 더하는 것. $\frac{x^8}{x^3}$의 올바른 결과는 $x^{11}$이 아니라 $x^5$입니다.
2. 밑이 다를 때 지수를 합치는 것. $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$이지, $x^4$가 아닙니다.
3. 음의 지수를 잘못 해석하는 것. $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$이지, $-x^2$가 아닙니다.
4. $a = 0$일 때도 $a^0 = 1$을 사용하는 것. $0^0$은 따로 다뤄야 하며 일반적인 규칙에 포함되지 않습니다.
5. 덧셈에 지수를 분배하는 것. 일반적으로 $(a+b)^n$은 $a^n+b^n$으로 간단해지지 않습니다.

지수법칙은 어디에 쓰일까

지수법칙은 대수, 과학적 표기법, 다항식 계산, 지수방정식, 로그에서 자주 등장합니다. 또 미적분에서도 미분이나 적분 전에 거듭제곱을 다시 써야 할 때 자주 사용됩니다.

직접 풀어 보기

다음을 간단히 해 보세요.

$$\frac{(2y^3)^2}{4y}$$

그다음 각 단계가 단순한 요령이 아니라 실제 규칙을 사용했는지 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 풀이기에서 직접 비슷한 식을 만들어 보고 지수가 줄마다 어떻게 바뀌는지 비교해 보세요.