미적분의 관련률

미적분에서 관련률이란, 한 양의 변화 속도를 이미 알고 있는 다른 양의 변화율과 두 양 사이의 관계식을 이용해 구하는 것을 뜻합니다. 핵심 아이디어는 간단합니다. 변수를 연결하는 식을 세우고, 시간에 대해 미분한 다음, 문제에서 주어진 특정 순간에서 값을 계산하면 됩니다.

만약 $y$가 $x$에 의존하고, $x$가 $t$에 의존한다면, 이 함수들이 미분 가능하다고 가정할 때

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

가 됩니다.

이 연쇄법칙이 관련률의 핵심 원리입니다. 차이점은 관련률 문제는 보통 완성된 함수식이 아니라, 기하학적이거나 물리적인 상황에서 출발한다는 점입니다.

관련률의 의미

변수들이 서로 연결되어 있기 때문에 그 변화율도 서로 연결됩니다. 원의 반지름이 변하면 넓이도 변합니다. 정육면체의 한 변의 길이가 변하면 부피도 변합니다. 양들을 연결하는 식은 같은 순간에 한 변화율이 다른 변화율에 어떤 영향을 주는지 알려 줍니다.

기본적인 풀이 흐름은 다음과 같습니다.

1. 변수를 정의한다.
2. 변수들을 연결하는 식을 쓴다.
3. 시간 $t$에 대해 미분한다.
4. 알고 싶은 순간의 값을 대입한다.
5. 미지의 변화율을 구한다.

왜 숫자를 먼저 넣기 전에 미분해야 할까

관련률 문제에서는 식에 $t$가 직접 나타나지 않더라도 변수들은 시간에 따라 변하는 함수입니다. 그래서

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

이지, 단순히 $2r$가 아닙니다.

숫자를 너무 일찍 대입하면, 도함수가 나타나기도 전에 변하고 있는 변수를 지워 버릴 수 있습니다. 단순한 경우에는 우연히 정답이 나올 수도 있지만, 그런 방법은 믿을 수 없습니다.

예제: 커지는 원의 넓이

원의 반지름이 다음과 같은 속도로 증가한다고 합시다.

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

$r = 5$ cm일 때 넓이는 얼마나 빠르게 증가할까요?

먼저 넓이 공식을 씁니다.

$$A = \pi r^2$$

양변을 시간에 대해 미분합니다.

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

이제 주어진 순간의 값 $r = 5$와 $\frac{dr}{dt} = 3$을 대입합니다.

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

따라서 넓이는 다음과 같은 속도로 증가합니다.

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

단위는 중요합니다. 반지름은 센티미터로 측정하므로, 넓이의 변화율은 초당 제곱센티미터가 됩니다.

이 예제가 성립하는 이유

원래 식은 $A$와 $r$을 연결할 뿐, $A$와 $t$를 직접 연결하지는 않습니다. 시간은 미분하는 순간에만 등장합니다. 이것이 관련률의 핵심입니다. 원래 식이 순수한 기하식처럼 보여도, 변하는 모든 양을 시간의 함수로 다루어야 합니다.

이 때문에 관련률에서는 음함수 미분이 자주 사용됩니다. 여러 변수가 연결된 식을 미분하고 있으며, 시간에 따라 변하는 각 변수는 저마다의 변화율 항을 만들어 낼 수 있기 때문입니다.

관련률에서 자주 하는 실수

1. 미분하기 전에 값을 먼저 대입하는 것.
2. $r$이나 $y$ 같은 변수가 시간에 따라 변한다는 점을 잊는 것.
3. 잘못된 순간의 값을 사용하는 것. 문제는 평균 변화가 아니라 특정 순간을 묻습니다.
4. 단위나 부호를 무시하는 것. 줄어드는 양이라면 보통 음의 변화율이 나와야 합니다.
5. 기하학적 상황이나 물리적 조건에 맞지 않는 공식을 쓰는 것.

관련률 문제를 언제 사용할까

관련률은 두 개의 변하는 양이 어떤 규칙으로 계속 연결되어 있을 때 등장합니다.

대표적인 경우는 다음과 같습니다.

1. 원, 구, 원뿔, 사다리 문제 같은 기하 문제.
2. 위치, 속도 등 여러 양이 함께 변하는 물리 문제.
3. 시간에 따라 변하는 다른 양에 의존하는 측정값을 다루는 공학이나 화학 문제.

이 방법은 세운 관계식이 실제 상황에 맞는 동안에만 유효합니다. 모델이 바뀌면 변화율을 나타내는 식도 달라질 수 있습니다.

빠르게 확인하는 관련률 체크리스트

다음 세 가지를 확인해 보세요.

1. 미분하기 전에 관계식을 먼저 썼는가?
2. $t$에 대해 미분할 때, 변하는 모든 변수가 각각 변화율 항을 만들었는가?
3. 최종 단위가 말이 되는가?

이 짧은 점검만으로도 관련률에서 생기는 많은 실수를 잡아낼 수 있습니다.

직접 변형해서 풀어 보기

같은 원의 예제에서 $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s로 바꾸고, $r = 8$ cm일 때를 계산해 보세요. 그다음에는 구의 부피 문제로 바꾸어 보고, $r^2$가 $r^3$로 바뀌면 최종 변화율 공식이 어떻게 달라지는지 살펴보세요. 다음 단계로 넘어가고 싶다면, 관계식을 직접 세우고 미분한 뒤에만 풀이 도구를 사용해 보세요.