Aturan Eksponen — Hukum Eksponen dengan Contoh

Aturan eksponen memberi tahu Anda apa yang harus dilakukan dengan pangkat saat Anda mengalikan, membagi, atau memangkatkan suatu pangkat ke pangkat lain. Jika Anda tahu bentuk mana yang sedang Anda lihat, sebagian besar soal eksponen bisa disederhanakan dalam beberapa langkah.

Berikut adalah hukum eksponen utama:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0)$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0)$$ $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$$

Aturan-aturan ini tidak semuanya memakai syarat yang sama. Syarat bukan nol penting setiap kali ada pembagian.

Apa arti eksponen

Eksponen menunjukkan berapa kali suatu basis digunakan sebagai faktor. Misalnya,

$$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$

Gagasan perkalian berulang itu menjelaskan mengapa eksponen dijumlahkan saat Anda mengalikan basis yang sama. Anda sedang menggabungkan kelompok faktor yang sama.

Aturan eksponen utama dengan contoh

Aturan Perkalian

Jika basisnya sama, jumlahkan eksponennya:

$$x^3 \cdot x^5 = x^8$$

Ini berlaku karena ada $3+5$ faktor $x$ secara keseluruhan.

Aturan Pembagian

Jika basisnya sama dan basis tidak nol, kurangkan eksponennya:

$$\frac{y^7}{y^2} = y^5$$

Anda bisa memikirkannya sebagai mencoret faktor-faktor yang sama.

Pangkat dari pangkat

Saat suatu pangkat dipangkatkan lagi, kalikan eksponennya:

$$(z^4)^3 = z^{12}$$

Ini adalah perkalian berulang dari perkalian berulang.

Pangkat dari hasil kali atau hasil bagi

Sebarkan eksponen ke perkalian dan pembagian:

$$(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$$ $$\left(\frac{3a}{b}\right)^2 = \frac{9a^2}{b^2} \quad (b \ne 0)$$

Eksponen nol dan negatif

Untuk setiap basis tak nol,

$$a^0 = 1$$

dan

$$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$$

Eksponen negatif tidak berarti hasilnya negatif. Artinya adalah "ambil kebalikannya."

Contoh langkah demi langkah: menyederhanakan bentuk dengan aturan eksponen

Sederhanakan

$$\frac{(3x^2)^2 \cdot x^3}{9x}$$

Mulai dari tanda kurung:

$$(3x^2)^2 = 3^2 (x^2)^2 = 9x^4$$

Sekarang bentuknya menjadi

$$\frac{9x^4 \cdot x^3}{9x}$$

Gunakan aturan perkalian pada pembilang:

$$9x^4 \cdot x^3 = 9x^7$$

Jadi sekarang Anda punya

$$\frac{9x^7}{9x} = x^6$$

Satu contoh ini menunjukkan tiga langkah umum: menyebarkan pangkat pada hasil kali, mengalikan eksponen pada pangkat dari pangkat, dan mengurangkan eksponen saat membagi basis yang sama.

Kesalahan umum: eksponen tidak menyebar pada penjumlahan

Aturan eksponen tidak menyebar pada penjumlahan dengan cara yang sama. Secara umum,

$$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$$

Misalnya,

$$(2+3)^2 = 25$$

tetapi

$$2^2 + 3^2 = 13$$

Ini adalah kesalahan yang sangat umum. Aturan perkalian berlaku untuk perkalian, bukan penjumlahan.

Eksponen pecahan memerlukan syarat

Anda juga mungkin melihat eksponen seperti $a^{1/n}$. Untuk $a$ real positif,

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$

dan secara lebih umum,

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

Ini berguna, tetapi domainnya penting. Dalam aljabar dasar, versi bilangan real yang paling aman adalah memakai aturan ini saat $a > 0$.

Kesalahan umum pada aturan eksponen

1. Menjumlahkan eksponen saat membagi. Pada $\frac{x^8}{x^3}$, hasil yang benar adalah $x^5$, bukan $x^{11}$.
2. Menggabungkan eksponen saat basisnya tidak sama. $x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$, bukan $x^4$.
3. Salah membaca eksponen negatif. $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, bukan $-x^2$.
4. Menggunakan $a^0 = 1$ saat $a = 0$. Bentuk $0^0$ perlu penanganan terpisah dan tidak dicakup oleh aturan biasa.
5. Menyebarkan eksponen pada penjumlahan. Secara umum, $(a+b)^n$ tidak menyederhana menjadi $a^n+b^n$.

Kapan aturan eksponen digunakan

Aturan eksponen muncul dalam aljabar, notasi ilmiah, operasi polinomial, persamaan eksponensial, dan logaritma. Aturan ini juga muncul lagi dalam kalkulus ketika pangkat perlu ditulis ulang sebelum diturunkan atau diintegralkan.

Coba versi Anda sendiri

Coba sederhanakan

$$\frac{(2y^3)^2}{4y}$$

Lalu periksa apakah setiap langkah memakai aturan yang benar, bukan sekadar jalan pintas. Jika Anda ingin melangkah lebih jauh, coba versi Anda sendiri di solver dan bandingkan bagaimana eksponennya berubah baris demi baris.