Longueur d’onde de De Broglie — formule des ondes de matière et exemples

La longueur d’onde de De Broglie est la longueur d’onde liée à la quantité de mouvement d’une particule. Si vous cherchez la formule de la longueur d’onde de De Broglie, la relation clé est :

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Ici, $\lambda$ est la longueur d’onde, $h$ est la constante de Planck, et $p$ est la quantité de mouvement. Une quantité de mouvement plus grande signifie une longueur d’onde plus courte.

C’est pourquoi les ondes de matière comptent pour les électrons, mais pas pour les balles de baseball. Un électron peut avoir une longueur d’onde comparable à l’espacement atomique, donc la diffraction et les interférences peuvent apparaître. Un objet macroscopique a généralement une quantité de mouvement si grande que sa longueur d’onde est trop petite pour être observée.

Formule de la longueur d’onde de De Broglie

La formule ne signifie pas qu’une particule devient une onde classique comme une vague à la surface de l’eau. Elle signifie que la particule présente un comportement ondulatoire, et que la longueur d’onde de ce comportement dépend de la quantité de mouvement.

La version la plus importante reste

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Commencez par cette forme dès que possible, car c’est la relation générale. Dans beaucoup d’exercices d’introduction, on remplace ensuite $p$ par une expression plus simple :

$$p = mv$$

ou

$$p = \sqrt{2mK}$$

Mais ce sont des formules non relativistes. Utilisez-les seulement lorsque la particule se déplace assez lentement pour que les effets relativistes puissent être négligés.

Intuition : quand les ondes de matière comptent

La longueur d’onde de De Broglie vous aide à décider quand le comportement ondulatoire doit être perceptible. Si la longueur d’onde d’une particule est comparable à l’espacement ou à la taille dans un montage, les interférences et la diffraction peuvent jouer un rôle. Si la longueur d’onde est beaucoup plus petite que cette échelle, une description classique est souvent suffisante.

Voici l’intuition pratique :

• grande quantité de mouvement $\rightarrow$ longueur d’onde courte
• petite quantité de mouvement $\rightarrow$ longueur d’onde longue

C’est pourquoi les électrons peuvent produire des figures de diffraction dans les cristaux, alors que les objets du quotidien ne montrent pas de comportement ondulatoire visible dans les expériences ordinaires.

Exemple résolu : longueur d’onde de De Broglie d’un électron accéléré sous 150 V

Supposons qu’un électron parte du repos et soit accéléré par une différence de potentiel de $150\ \mathrm{V}$. Trouvez sa longueur d’onde de De Broglie.

À cette tension, l’approximation non relativiste est standard pour un calcul d’introduction, donc on utilise

$$p = \sqrt{2mK}$$

L’énergie cinétique gagnée par un électron accéléré par une différence de potentiel $\Delta V$ est

$$K = e\Delta V$$

Donc la longueur d’onde de De Broglie est

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2me\Delta V}}$$

Remplaçons maintenant par les constantes et $\Delta V = 150\ \mathrm{V}$ :

$$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2(9.11 \times 10^{-31})(1.602 \times 10^{-19})(150)}}$$

On obtient

$$\lambda \approx 1.00 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

ou

$$\lambda \approx 0.100\ \mathrm{nm}$$

Cette longueur d’onde est de l’ordre de grandeur de l’espacement atomique. La diffraction des électrons a donc du sens : la longueur d’onde est petite, mais encore assez grande pour interagir avec la structure d’un cristal.

Erreurs courantes dans les problèmes de longueur d’onde de De Broglie

Utiliser $p = mv$ automatiquement

$p = mv$ n’est pas la loi principale ici. La loi principale est $\lambda = h/p$. Le raccourci $p = mv$ ne fonctionne que dans le régime non relativiste.

Traiter la longueur d’onde comme la taille réelle de la particule

La longueur d’onde de De Broglie n’est pas le diamètre de la particule. C’est la longueur d’onde associée à sa quantité de mouvement et à son comportement ondulatoire.

Ignorer l’échelle physique

Un nombre, à lui seul, n’est pas très informatif. La question utile est de savoir si la longueur d’onde est comparable à l’échelle des fentes, à l’espacement du réseau cristallin ou à la taille de confinement dans le problème.

Confondre les formules d’énergie et de quantité de mouvement

Si l’énoncé donne l’énergie cinétique, la tension ou des informations relativistes, il faut convertir soigneusement en quantité de mouvement avant d’appliquer $\lambda = h/p$.

Où la longueur d’onde de De Broglie est utilisée

La longueur d’onde de De Broglie apparaît dans la diffraction des électrons, la diffraction des neutrons, la microscopie électronique en transmission et les modèles quantiques de base comme les particules dans une boîte. Plus largement, c’est l’un des liens les plus clairs entre la quantité de mouvement classique et le comportement quantique.

Elle est particulièrement utile lorsque vous voulez répondre à une question pratique : faut-il s’attendre ici à des effets d’onde, ou une approximation classique suffit-elle ?

Essayez votre propre version

Gardez le même exemple avec l’électron, mais remplacez la tension d’accélération de $150\ \mathrm{V}$ par $600\ \mathrm{V}$. Prévoyez le changement avant de calculer : une tension plus élevée donne à l’électron une plus grande quantité de mouvement, donc la longueur d’onde de De Broglie devient plus courte.

Si vous voulez essayer votre propre version avec d’autres valeurs, GPAI Solver peut vous aider à vérifier l’étape de la quantité de mouvement et les conversions d’unités.