Lunghezza d’onda di de Broglie — Formula delle onde di materia ed esempi

La lunghezza d’onda di de Broglie è la lunghezza d’onda collegata alla quantità di moto di una particella. Se hai cercato la formula della lunghezza d’onda di de Broglie, la relazione chiave è:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Qui $\lambda$ è la lunghezza d’onda, $h$ è la costante di Planck e $p$ è la quantità di moto. Una quantità di moto maggiore significa una lunghezza d’onda più corta.

Per questo le onde di materia sono importanti per gli elettroni ma non per le palle da baseball. Un elettrone può avere una lunghezza d’onda confrontabile con la distanza tra gli atomi, quindi possono comparire diffrazione e interferenza. Un oggetto macroscopico di solito ha così tanta quantità di moto che la sua lunghezza d’onda è troppo piccola per essere osservata.

Formula della lunghezza d’onda di de Broglie

La formula non significa che una particella diventi un’onda classica come un’onda sull’acqua. Significa che la particella ha un comportamento ondulatorio e che la lunghezza d’onda di questo comportamento dipende dalla quantità di moto.

La versione più importante resta

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Inizia con questa forma quando puoi, perché è la relazione generale. In molti problemi introduttivi, poi si sostituisce $p$ con un’espressione più semplice:

$$p = mv$$

oppure

$$p = \sqrt{2mK}$$

Ma queste sono formule non relativistiche. Usale solo quando la particella si muove abbastanza lentamente da poter trascurare gli effetti relativistici.

Intuizione: quando le onde di materia contano

La lunghezza d’onda di de Broglie ti aiuta a capire quando il comportamento ondulatorio dovrebbe essere osservabile. Se la lunghezza d’onda di una particella è confrontabile con la distanza o con la dimensione caratteristica di un apparato, interferenza e diffrazione possono essere importanti. Se la lunghezza d’onda è molto più piccola di quella scala, spesso una descrizione classica è sufficiente.

Questa è l’intuizione pratica:

• grande quantità di moto $\rightarrow$ lunghezza d’onda corta
• piccola quantità di moto $\rightarrow$ lunghezza d’onda lunga

Per questo gli elettroni possono produrre figure di diffrazione nei cristalli, mentre gli oggetti della vita quotidiana non mostrano un comportamento ondulatorio visibile negli esperimenti ordinari.

Esempio svolto: lunghezza d’onda di de Broglie di un elettrone accelerato da 150 V

Supponi che un elettrone parta da fermo e venga accelerato attraverso una differenza di potenziale di $150\ \mathrm{V}$. Trova la sua lunghezza d’onda di de Broglie.

A questa tensione, l’approssimazione non relativistica è standard in un calcolo introduttivo, quindi usa

$$p = \sqrt{2mK}$$

L’energia cinetica acquistata da un elettrone accelerato attraverso una differenza di potenziale $\Delta V$ è

$$K = e\Delta V$$

Quindi la lunghezza d’onda di de Broglie è

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2me\Delta V}}$$

Ora sostituisci le costanti e $\Delta V = 150\ \mathrm{V}$:

$$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2(9.11 \times 10^{-31})(1.602 \times 10^{-19})(150)}}$$

Si ottiene

$$\lambda \approx 1.00 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

oppure

$$\lambda \approx 0.100\ \mathrm{nm}$$

Questa lunghezza d’onda è dell’ordine della distanza interatomica. Quindi la diffrazione degli elettroni ha senso: la lunghezza d’onda è piccola, ma ancora abbastanza grande da interagire con la struttura di un cristallo.

Errori comuni nei problemi sulla lunghezza d’onda di de Broglie

Usare automaticamente $p = mv$

$p = mv$ non è la legge principale qui. La legge principale è $\lambda = h/p$. La scorciatoia $p = mv$ funziona solo nel regime non relativistico.

Trattare la lunghezza d’onda come se fosse la dimensione reale della particella

La lunghezza d’onda di de Broglie non è il diametro della particella. È la lunghezza d’onda associata alla sua quantità di moto e al suo comportamento ondulatorio.

Ignorare la scala fisica

Un numero da solo non dice molto. La domanda utile è se la lunghezza d’onda sia confrontabile con la scala delle fenditure, con la distanza reticolare o con la dimensione di confinamento nel problema.

Confondere le formule di energia e quantità di moto

Se il problema fornisce energia cinetica, tensione o informazioni relativistiche, devi convertire con attenzione alla quantità di moto prima di applicare $\lambda = h/p$.

Dove si usa la lunghezza d’onda di de Broglie

La lunghezza d’onda di de Broglie compare nella diffrazione degli elettroni, nella diffrazione dei neutroni, nella microscopia elettronica a trasmissione e nei modelli quantistici di base come le particelle in una scatola. Più in generale, è uno dei collegamenti più chiari tra la quantità di moto classica e il comportamento quantistico.

È particolarmente utile quando vuoi rispondere a una domanda pratica: qui devo aspettarmi effetti ondulatori oppure basta un’approssimazione classica?

Prova la tua versione

Mantieni lo stesso esempio dell’elettrone, ma cambia la tensione di accelerazione da $150\ \mathrm{V}$ a $600\ \mathrm{V}$. Prevedi il cambiamento prima di calcolare: una tensione più alta dà all’elettrone più quantità di moto, quindi la lunghezza d’onda di de Broglie diventa più corta.

Se vuoi provare una tua versione con numeri diversi, GPAI Solver può aiutarti a controllare il passaggio della quantità di moto e le conversioni di unità.