Comprimento de onda de de Broglie — fórmula da onda de matéria e exemplos

O comprimento de onda de de Broglie é o comprimento de onda ligado ao momento de uma partícula. Se você procurou pela fórmula do comprimento de onda de de Broglie, a relação principal é:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Aqui, $\lambda$ é o comprimento de onda, $h$ é a constante de Planck e $p$ é o momento. Quanto maior o momento, menor o comprimento de onda.

É por isso que as ondas de matéria importam para elétrons, mas não para bolas de beisebol. Um elétron pode ter um comprimento de onda comparável ao espaçamento atômico, então difração e interferência podem aparecer. Um objeto macroscópico normalmente tem tanto momento que seu comprimento de onda é pequeno demais para ser percebido.

Fórmula do comprimento de onda de de Broglie

A fórmula não significa que uma partícula se torna uma onda clássica de água. Ela significa que a partícula tem comportamento ondulatório, e o comprimento de onda desse comportamento depende do momento.

A versão mais importante continua sendo

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Comece com essa forma sempre que puder, porque ela é a relação geral. Em muitos problemas introdutórios, você então substitui $p$ por uma expressão mais simples:

$$p = mv$$

ou

$$p = \sqrt{2mK}$$

Mas essas são fórmulas não relativísticas. Use-as apenas quando a partícula estiver se movendo devagar o suficiente para que os efeitos relativísticos possam ser ignorados.

Intuição: quando as ondas de matéria importam

O comprimento de onda de de Broglie ajuda você a decidir quando o comportamento ondulatório deve ser perceptível. Se o comprimento de onda de uma partícula for comparável ao espaçamento ou ao tamanho em um arranjo experimental, interferência e difração podem importar. Se o comprimento de onda for muito menor do que essa escala, uma descrição clássica costuma ser suficiente.

Esta é a intuição prática:

• momento grande $\rightarrow$ comprimento de onda curto
• momento pequeno $\rightarrow$ comprimento de onda longo

É por isso que elétrons podem produzir padrões de difração em cristais, enquanto objetos do dia a dia não mostram comportamento visível de onda de matéria em experimentos comuns.

Exemplo resolvido: comprimento de onda de de Broglie de um elétron através de 150 V

Suponha que um elétron parta do repouso e seja acelerado por uma diferença de potencial de $150\ \mathrm{V}$. Encontre seu comprimento de onda de de Broglie.

Nessa tensão, a aproximação não relativística é padrão em um cálculo introdutório, então use

$$p = \sqrt{2mK}$$

A energia cinética adquirida por um elétron acelerado por uma diferença de potencial $\Delta V$ é

$$K = e\Delta V$$

Então o comprimento de onda de de Broglie é

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2me\Delta V}}$$

Agora substitua as constantes e $\Delta V = 150\ \mathrm{V}$:

$$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2(9.11 \times 10^{-31})(1.602 \times 10^{-19})(150)}}$$

Isso dá

$$\lambda \approx 1.00 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

ou

$$\lambda \approx 0.100\ \mathrm{nm}$$

Esse comprimento de onda está na ordem do espaçamento atômico. Então a difração de elétrons faz sentido: o comprimento de onda é pequeno, mas ainda grande o bastante para interagir com a estrutura de um cristal.

Erros comuns em problemas de comprimento de onda de de Broglie

Usar $p = mv$ automaticamente

$p = mv$ não é a lei principal aqui. A lei principal é $\lambda = h/p$. O atalho $p = mv$ só funciona no regime não relativístico.

Tratar o comprimento de onda como um tamanho literal da partícula

O comprimento de onda de de Broglie não é o diâmetro da partícula. Ele é o comprimento de onda associado ao seu momento e ao seu comportamento ondulatório.

Ignorar a escala física

Um número sozinho não é muito informativo. A pergunta útil é se o comprimento de onda é comparável à escala das fendas, ao espaçamento da rede cristalina ou ao tamanho de confinamento no problema.

Confundir fórmulas de energia e momento

Se o problema fornece energia cinética, tensão ou informação relativística, você deve converter com cuidado para momento antes de aplicar $\lambda = h/p$.

Onde o comprimento de onda de de Broglie é usado

O comprimento de onda de de Broglie aparece em difração de elétrons, difração de nêutrons, microscopia eletrônica de transmissão e modelos quânticos básicos, como partículas em caixas. De forma mais ampla, ele é uma das ligações mais claras entre o momento clássico e o comportamento quântico.

Ele é especialmente útil quando você quer responder a uma pergunta prática: devo esperar efeitos ondulatórios aqui ou uma aproximação clássica é suficiente?

Tente sua própria versão

Mantenha o mesmo exemplo do elétron, mas mude a tensão de aceleração de $150\ \mathrm{V}$ para $600\ \mathrm{V}$. Preveja a mudança antes de calcular: uma tensão maior dá ao elétron mais momento, então o comprimento de onda de de Broglie fica menor.

Se você quiser testar sua própria versão com números diferentes, o GPAI Solver pode ajudar a verificar a etapa do momento e as conversões de unidades.