Mécanique quantique — dualité onde-particule et équation de Schrödinger

Les bases de la mécanique quantique commencent par un changement de perspective : les systèmes microscopiques ne se comportent ni comme des particules purement classiques ni comme des ondes purement classiques. La dualité onde-particule explique pourquoi un électron peut produire une figure d’interférence tout en étant détecté en un point précis, et l’équation de Schrödinger est l’équation non relativiste principale utilisée pour prédire comment cet état quantique évolue.

Pour beaucoup de problèmes d’introduction, c’est l’image pratique à retenir : on utilise une fonction d’onde $\psi$, on calcule son comportement dans les conditions du système, puis on interprète $|\psi|^2$ comme une densité de probabilité après normalisation.

La dualité onde-particule signifie que les images classiques sont incomplètes

La dualité onde-particule ne veut pas dire qu’un minuscule objet est secrètement une bille classique à un moment puis une onde à la surface de l’eau l’instant d’après. Cela signifie que les catégories classiques sont trop limitées pour décrire les systèmes microscopiques.

Dans une expérience à double fente, un faisceau d’électrons peut former une figure d’interférence, ce qui est un comportement ondulatoire. Mais chaque détection individuelle est localisée sur l’écran, ce qui est un comportement corpusculaire. Cette même expérience montre pourquoi on parle de « dualité » : un seul dispositif révèle les deux aspects.

Pour les ondes de matière, une relation utile est la longueur d’onde de de Broglie

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

où $p$ est la quantité de mouvement et $h$ la constante de Planck. Plus la quantité de mouvement est grande, plus la longueur d’onde est courte.

L’équation de Schrödinger indique comment l’état évolue

La dualité onde-particule donne l’intuition. L’équation de Schrödinger donne la règle de calcul.

Pour une particule non relativiste, l’équation de Schrödinger dépendant du temps s’écrit couramment

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V \right)\psi$$

Ici, $m$ est la masse de la particule et $V$ l’énergie potentielle. L’équation ne prédit pas une trajectoire classique unique. Elle prédit comment la fonction d’onde évolue, et c’est à partir de cette fonction d’onde qu’on calcule les probabilités des résultats de mesure.

Si le potentiel ne dépend pas du temps et que vous cherchez des états stationnaires, on utilise souvent la forme indépendante du temps. En une dimension,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

C’est un cas particulier de l’équation dépendant du temps, pas une loi séparée. Il faut l’utiliser seulement dans cette situation.

Une mise en garde est importante ici. L’équation de Schrödinger est le point de départ standard de la mécanique quantique non relativiste, surtout pour les particules massives comme les électrons dans des modèles simples. La dualité onde-particule est plus générale que cette seule équation, donc il ne faut pas considérer l’équation de Schrödinger comme la théorie complète de tous les systèmes quantiques.

Exemple résolu : particule dans une boîte 1D

Considérons une particule non relativiste idéalisée, piégée entre des parois rigides à $x=0$ et $x=L$. À l’intérieur de la boîte, on prend $V(x)=0$, et à l’extérieur la particule est exclue. La fonction d’onde doit alors vérifier

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

Ces conditions aux limites signifient que seules des ondes stationnaires peuvent tenir dans la boîte. Les longueurs d’onde autorisées sont donc

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1,2,3,\dots$$

En utilisant la relation de de Broglie, les quantités de mouvement autorisées sont

$$p_n = \frac{h}{\lambda_n} = \frac{nh}{2L}$$

et pour une particule non relativiste dans cette région, les énergies autorisées sont

$$E_n = \frac{p_n^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$$

L’équation de Schrödinger indépendante du temps donne le même résultat lorsqu’on la résout avec les mêmes conditions aux limites. C’est le lien essentiel : l’image ondulatoire et l’équation s’accordent pour dire que, dans ce modèle, la particule ne peut pas avoir n’importe quelle énergie.

L’état de plus basse énergie correspond à $n=1$, donc l’énergie n’est pas nulle. Dans ce modèle, les conditions aux limites imposent une onde stationnaire, et même l’onde stationnaire la plus simple a une courbure et donc une énergie non nulle.

Si vous doublez la largeur de la boîte à $2L$, chaque énergie autorisée devient quatre fois plus petite, car $E_n \propto 1/L^2$. C’est une manière simple de voir comment le confinement modifie un système quantique.

Erreurs fréquentes dans les bases de la mécanique quantique

• Traiter un objet quantique comme une onde classique à un moment puis comme une particule classique à un autre. L’idée essentielle est qu’aucune de ces deux images classiques n’est suffisante à elle seule.
• Lire $\psi$ comme une probabilité. Dans l’image standard par fonction d’onde, la densité de probabilité est $|\psi|^2$ après normalisation.
• Utiliser l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans des situations où le potentiel varie avec le temps.
• Supposer que l’énergie est toujours quantifiée de la même manière. Des niveaux d’énergie discrets exigent généralement des conditions comme le confinement ou l’existence d’états liés.

Où la dualité onde-particule et l’équation de Schrödinger sont utilisées

La dualité onde-particule et l’équation de Schrödinger sont des outils fondamentaux en physique atomique, pour les liaisons chimiques, l’effet tunnel, les modèles de semi-conducteurs et les puits quantiques. Elles sont particulièrement utiles lorsque le confinement, les interférences ou les niveaux d’énergie discrets jouent un rôle important.

Pour les grands objets du quotidien, la mécanique classique est généralement une excellente approximation. Pour des vitesses très élevées ou des problèmes quantiques pleinement relativistes, l’équation de Schrödinger n’est pas le modèle complet.

Essayez un problème similaire de mécanique quantique

Gardez le même modèle de boîte, mais changez la largeur de $L$ à $3L$. Prévoyez ce qui arrive à $E_1$ avant de faire le moindre calcul algébrique. Si vous voulez tester votre compréhension, essayez votre propre variante en vous demandant comment toute l’échelle des énergies change lorsque la boîte devient plus large ou plus étroite.