Équation de Schrödinger

L’équation de Schrödinger décrit comment un état quantique évolue en mécanique quantique non relativiste. Si vous connaissez la fonction d’onde $\psi$ et l’énergie potentielle $V$, cette équation indique comment $\psi$ évolue et quels états d’énergie sont autorisés.

Pour une particule en trois dimensions, l’équation dépendante du temps s’écrit couramment

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right)\psi$$

Ici, $m$ est la masse de la particule, $V$ l’énergie potentielle, et $\hbar$ la constante de Planck réduite. C’est le point de départ standard lorsqu’un modèle non relativiste est approprié, c’est-à-dire lorsque les effets relativistes sont assez faibles pour être négligés.

Ce que signifie l’équation de Schrödinger

L’équation relie deux idées : la façon dont la fonction d’onde change au cours du temps et la manière dont l’énergie du système agit sur cette fonction d’onde. Le terme en $\nabla^2$ est lié à l’énergie cinétique, tandis que $V$ représente l’énergie potentielle.

Il ne faut pas interpréter $\psi$ comme une onde classique, comme la hauteur de l’eau par exemple. Dans l’interprétation standard, la grandeur mesurable est $|\psi|^2$, qui donne une densité de probabilité après normalisation.

C’est le changement essentiel par rapport à la mécanique classique. L’équation ne prédit généralement pas une trajectoire exacte pour une particule. Elle prédit comment la structure de probabilité du système évolue.

Quand la forme indépendante du temps s’applique

L’équation de Schrödinger dépendante du temps est la forme générale. Une seconde forme apparaît seulement lorsque le potentiel ne dépend pas du temps et que l’on cherche des états stationnaires d’énergie bien définie.

En une dimension, cette forme indépendante du temps est

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

Ce n’est pas une loi différente. C’est un cas particulier de l’équation dépendante du temps dans ces conditions. Si le potentiel varie avec le temps, il ne faut pas s’attendre à ce que cette forme plus simple décrive toute la situation.

Exemple résolu : particule dans une boîte unidimensionnelle

Un exemple classique est celui d’une particule confinée entre $x=0$ et $x=L$, avec l’énergie potentielle

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{à l’extérieur de la boîte} \end{cases}$$

À l’intérieur de la boîte, le potentiel est nul, donc l’équation indépendante du temps devient

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} = E\psi$$

Aux parois, la fonction d’onde doit s’annuler :

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

Ces conditions aux limites éliminent la plupart des solutions mathématiques et ne laissent que certains états stationnaires :

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n = 1,2,3,\dots$$

et les énergies autorisées sont

$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$

C’est l’idée principale à retenir. L’équation seule ne suffit pas ; les conditions aux limites comptent aussi. Ensemble, elles n’autorisent qu’un ensemble discret d’énergies au lieu de toutes les valeurs possibles.

Si la boîte devient plus grande, les énergies autorisées diminuent car $E_n \propto 1/L^2$. Si la boîte devient plus petite, les niveaux d’énergie s’écartent davantage.

Pourquoi cet exemple rend la mécanique quantique plus intuitive

Le modèle de la particule dans une boîte est simple, mais il met très vite en évidence une idée quantique essentielle : le confinement peut produire une énergie quantifiée. On retrouve ce même schéma plus largement dans les atomes, les puits quantiques et d’autres systèmes liés.

Il montre aussi pourquoi les conditions aux limites ne sont pas un détail secondaire. En mécanique quantique, la configuration physique et les fonctions d’onde autorisées sont étroitement liées.

Erreurs fréquentes sur l’équation de Schrödinger

• Prendre $\psi$ elle-même pour une probabilité. Dans l’interprétation standard, la densité de probabilité est $|\psi|^2$ après normalisation.
• Utiliser l’équation indépendante du temps comme si elle s’appliquait toujours. C’est le bon outil seulement pour les problèmes d’états stationnaires avec un potentiel indépendant du temps.
• S’attendre à ce que l’équation fournisse une trajectoire classique exacte. En général, elle fait évoluer une fonction d’onde, pas un chemin unique.
• Oublier que les conditions aux limites peuvent modifier les solutions physiquement autorisées.

Où l’équation de Schrödinger est utilisée

Elle est utilisée en physique atomique, en physique moléculaire, dans les problèmes d’effet tunnel, les modèles de semi-conducteurs et dans de nombreuses parties de la chimie quantique. Dans chaque cas, le potentiel exact et les détails du système changent, mais le même cadre fondamental reste valable.

Pour des vitesses très élevées ou lorsque les effets relativistes deviennent importants, l’équation de Schrödinger n’est pas le modèle complet. Dans ce régime, des équations plus avancées sont nécessaires.

Essayez une modification similaire

Gardez la même boîte mais remplacez $L$ par $2L$. Sans faire beaucoup d’algèbre, prévoyez ce qui arrive à $E_1$ et à l’écart entre des niveaux d’énergie voisins. Si vous voulez ensuite une comparaison utile, regardez l’équation d’onde et remarquez que les deux équations relient des équations différentielles à des contraintes physiques, mais de façons différentes.