Quantité de mouvement — Formule, conservation et impulsion

La quantité de mouvement indique à quel point il est difficile d’arrêter ou de dévier le mouvement d’un objet. En physique introductive, la quantité de mouvement linéaire est

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Cela signifie que la quantité de mouvement dépend de la masse, de la vitesse et de la direction. Comme la vitesse est un vecteur, la quantité de mouvement est aussi un vecteur.

Si vous ne devez retenir qu’une seule idée, retenez celle-ci : plus la masse ou la vitesse est grande, plus la quantité de mouvement est grande, et modifier la quantité de mouvement nécessite une impulsion.

Ce que signifie $p = mv$

Pour un objet unique de masse constante se déplaçant à une vitesse bien inférieure aux vitesses relativistes, la norme de la quantité de mouvement est

$$p = mv$$

L’unité SI est $kg \cdot m/s$.

C’est la formule standard pour les problèmes de mécanique du quotidien. Si les vitesses sont comparables à celle de la lumière, cette forme classique ne suffit plus.

Pourquoi la direction compte dans les problèmes de quantité de mouvement

La quantité de mouvement n’est pas simplement « masse fois vitesse ». C’est la masse multipliée par la vitesse vectorielle, donc la direction reste incluse.

Cela signifie que deux objets peuvent avoir la même norme de quantité de mouvement mais des vecteurs quantité de mouvement opposés. Par exemple, $3\ kg \cdot m/s$ vers l’est et $3\ kg \cdot m/s$ vers l’ouest ne s’additionnent pas dans le total d’un système. Ils se compensent.

C’est pourquoi la quantité de mouvement est particulièrement utile dans les problèmes de collisions et de recul.

Quand la quantité de mouvement se conserve

La quantité de mouvement se conserve pour un système lorsque l’impulsion extérieure résultante sur ce système est nulle ou négligeable pendant l’intervalle de temps considéré. Dans de nombreux problèmes de collision de manuel, cela est modélisé comme un système isolé.

Dans cette condition,

$$\vec{p}_{\text{initial}} = \vec{p}_{\text{final}}$$

C’est une affirmation sur le système, pas l’idée que chaque objet conserve individuellement sa propre quantité de mouvement. Pendant une collision, un objet peut perdre de la quantité de mouvement pendant qu’un autre en gagne. Ce qui reste constant, c’est la quantité de mouvement totale du système.

Comment l’impulsion modifie la quantité de mouvement

L’impulsion est la grandeur qui modifie la quantité de mouvement. En général,

$$\vec{J} = \Delta \vec{p}$$

et pour une force résultante constante pendant un intervalle de temps $\Delta t$,

$$\vec{J} = \vec{F}_{\text{net}} \Delta t$$

En combinant les deux, on obtient la relation usuelle entre impulsion et quantité de mouvement :

$$\vec{F}_{\text{net}} \Delta t = \Delta \vec{p}$$

Si l’impulsion extérieure résultante sur un système est approximativement nulle, alors la quantité de mouvement totale du système reste constante. C’est pourquoi les collisions brèves sont souvent résolues avec la conservation de la quantité de mouvement, même lorsque les forces pendant l’impact sont compliquées.

Exemple résolu : deux chariots restent accrochés

Un chariot de $2.0\ \mathrm{kg}$ se déplaçant à $3.0\ \mathrm{m/s}$ vers la droite entre en collision avec un chariot de $1.0\ \mathrm{kg}$ au repos sur une piste à faible frottement. Après la collision, ils restent accrochés. Déterminez leur vitesse finale.

Comme la piste présente peu de frottement, on modélise l’impulsion extérieure pendant la courte collision comme négligeable. Cela permet d’utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour le système des deux chariots.

Quantité de mouvement initiale :

$$p_{\text{initial}} = (2.0)(3.0) + (1.0)(0) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Après la collision, les chariots avancent ensemble, donc la masse totale est

$$2.0 + 1.0 = 3.0\ \mathrm{kg}$$

Soit $v_f$ la vitesse finale. Alors

$$p_{\text{final}} = (3.0)v_f$$

On égalise la quantité de mouvement initiale et finale :

$$6.0 = 3.0v_f$$ $$v_f = 2.0\ \mathrm{m/s}$$

Les chariots assemblés se déplacent donc à $2.0\ \mathrm{m/s}$ vers la droite.

Le point essentiel est que la quantité de mouvement totale du système des deux chariots reste la même, même si la quantité de mouvement individuelle de chaque chariot change pendant la collision.

Erreurs fréquentes

Traiter la quantité de mouvement comme un scalaire

Les signes ou les composantes vectorielles comptent. La gauche et la droite ne peuvent pas toutes deux être traitées comme positives, sauf si vous définissez d’abord un repère et que vous le gardez cohérent.

Utiliser la conservation sans vérifier le système

La conservation de la quantité de mouvement concerne un système choisi. Si une forte impulsion extérieure agit sur ce système pendant l’intervalle de temps, la quantité de mouvement totale de ce système n’a pas à rester constante.

Confondre conservation de la quantité de mouvement et conservation de l’énergie cinétique

Dans une collision parfaitement inélastique comme l’exemple des chariots, la quantité de mouvement peut être conservée alors que l’énergie cinétique ne l’est pas. Ce sont deux idées différentes.

Oublier la condition derrière $p = mv$

Cette formule est l’expression classique de la quantité de mouvement linéaire. C’est le bon choix par défaut pour les problèmes courants, mais pas pour les vitesses relativistes.

Où apparaît la quantité de mouvement

La quantité de mouvement intervient dans les collisions, les explosions, le recul, le mouvement des fusées, la sécurité lors des impacts et la mécanique du sport. Les ingénieurs utilisent l’idée d’impulsion lorsqu’ils réfléchissent aux airbags et aux zones de déformation, car augmenter le temps d’arrêt peut réduire la force moyenne nécessaire pour produire la même variation de quantité de mouvement.

Si vous voulez comprendre des interactions rapides, la quantité de mouvement est souvent le point de départ le plus clair, car les forces pendant une collision peuvent être compliquées même lorsque le bilan global de quantité de mouvement reste simple.

Essayez un problème similaire

Modifiez les masses des chariots ou la vitesse initiale, puis prédisez la direction finale avant de calculer. Un bon cas suivant consiste à faire se déplacer le second chariot vers la gauche au lieu de partir du repos.

Si vous voulez essayer vos propres valeurs étape par étape, résolvez un problème similaire de quantité de mouvement avec GPAI Solver.