Długość fali de Broglie’a — wzór na fale materii i przykłady

Długość fali de Broglie’a to długość fali związana z pędem cząstki. Jeśli szukasz wzoru na długość fali de Broglie’a, kluczowa zależność to:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Tutaj $\lambda$ oznacza długość fali, $h$ to stała Plancka, a $p$ to pęd. Większy pęd oznacza krótszą długość fali.

To dlatego fale materii mają znaczenie dla elektronów, ale nie dla piłek baseballowych. Elektron może mieć długość fali porównywalną z odległościami między atomami, więc mogą pojawić się dyfrakcja i interferencja. Obiekt makroskopowy ma zwykle tak duży pęd, że jego długość fali jest zbyt mała, by ją zauważyć.

Wzór na długość fali de Broglie’a

Ten wzór nie oznacza, że cząstka staje się klasyczną falą wodną. Oznacza, że cząstka wykazuje zachowanie falowe, a długość tej fali zależy od pędu.

Najważniejsza postać to nadal

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Od tej postaci warto zaczynać zawsze, gdy to możliwe, ponieważ jest to zależność ogólna. W wielu zadaniach wprowadzających zastępuje się potem $p$ prostszym wyrażeniem:

$$p = mv$$

lub

$$p = \sqrt{2mK}$$

Są to jednak wzory nierelatywistyczne. Używaj ich tylko wtedy, gdy cząstka porusza się na tyle wolno, że można pominąć efekty relatywistyczne.

Intuicja: kiedy fale materii mają znaczenie

Długość fali de Broglie’a pomaga zdecydować, kiedy zachowanie falowe powinno być zauważalne. Jeśli długość fali cząstki jest porównywalna z odstępami lub rozmiarem w danym układzie, interferencja i dyfrakcja mogą mieć znaczenie. Jeśli długość fali jest dużo mniejsza od tej skali, obraz klasyczny często jest wystarczający.

Praktyczna intuicja jest taka:

• duży pęd $\rightarrow$ krótka długość fali
• mały pęd $\rightarrow$ długa długość fali

Dlatego elektrony mogą dawać obrazy dyfrakcyjne w kryształach, podczas gdy obiekty codziennego użytku nie wykazują widocznego falowego zachowania materii w zwykłych doświadczeniach.

Przykład obliczeniowy: długość fali de Broglie’a elektronu przy napięciu 150 V

Załóżmy, że elektron startuje ze spoczynku i jest przyspieszany przez różnicę potencjałów $150\ \mathrm{V}$. Wyznacz jego długość fali de Broglie’a.

Przy takim napięciu w zadaniu wprowadzającym standardowo stosuje się przybliżenie nierelatywistyczne, więc używamy

$$p = \sqrt{2mK}$$

Energia kinetyczna uzyskana przez elektron przyspieszany przez różnicę potencjałów $\Delta V$ wynosi

$$K = e\Delta V$$

Zatem długość fali de Broglie’a wynosi

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2me\Delta V}}$$

Teraz podstawiamy stałe oraz $\Delta V = 150\ \mathrm{V}$:

$$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2(9.11 \times 10^{-31})(1.602 \times 10^{-19})(150)}}$$

Otrzymujemy

$$\lambda \approx 1.00 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

czyli

$$\lambda \approx 0.100\ \mathrm{nm}$$

Ta długość fali jest rzędu odległości między atomami. Dlatego dyfrakcja elektronów ma sens: długość fali jest mała, ale nadal wystarczająco duża, by oddziaływać ze strukturą kryształu.

Typowe błędy w zadaniach o długości fali de Broglie’a

Automatyczne używanie $p = mv$

$p = mv$ nie jest tutaj głównym prawem. Główna zależność to $\lambda = h/p$. Skrót $p = mv$ działa tylko w zakresie nierelatywistycznym.

Traktowanie długości fali jako dosłownego rozmiaru cząstki

Długość fali de Broglie’a nie jest średnicą cząstki. To długość fali związana z jej pędem i zachowaniem falowym.

Ignorowanie skali fizycznej

Sama liczba nie mówi jeszcze zbyt wiele. Ważne pytanie brzmi, czy długość fali jest porównywalna ze skalą szczelin, stałej sieci lub rozmiarem obszaru ograniczenia w danym zadaniu.

Mylenie wzorów na energię i pęd

Jeśli w zadaniu podano energię kinetyczną, napięcie lub informacje relatywistyczne, trzeba najpierw ostrożnie przeliczyć je na pęd, a dopiero potem zastosować $\lambda = h/p$.

Gdzie stosuje się długość fali de Broglie’a

Długość fali de Broglie’a pojawia się w dyfrakcji elektronów, dyfrakcji neutronów, transmisyjnej mikroskopii elektronowej oraz w podstawowych modelach kwantowych, takich jak cząstka w pudle. Szerzej patrząc, jest to jeden z najczytelniejszych związków między klasycznym pędem a zachowaniem kwantowym.

Jest szczególnie użyteczna, gdy chcesz odpowiedzieć na praktyczne pytanie: czy należy tu oczekiwać efektów falowych, czy wystarczy przybliżenie klasyczne?

Spróbuj własnej wersji

Weź ten sam przykład z elektronem, ale zmień napięcie przyspieszające z $150\ \mathrm{V}$ na $600\ \mathrm{V}$. Zanim zaczniesz liczyć, przewidź zmianę: wyższe napięcie daje elektronowi większy pęd, więc długość fali de Broglie’a staje się krótsza.

Jeśli chcesz spróbować własnej wersji z innymi liczbami, GPAI Solver może pomóc Ci sprawdzić etap wyznaczania pędu i przeliczanie jednostek.