ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ — สูตรคลื่นสสารและตัวอย่าง

ความยาวคลื่นเดอบรอยล์คือความยาวคลื่นที่เชื่อมโยงกับโมเมนตัมของอนุภาค ถ้าคุณค้นหาสูตรความยาวคลื่นเดอบรอยล์ ความสัมพันธ์หลักคือ

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

โดยที่ $\lambda$ คือความยาวคลื่น, $h$ คือค่าคงที่ของพลังค์ และ $p$ คือโมเมนตัม โมเมนตัมยิ่งมาก ความยาวคลื่นก็ยิ่งสั้น

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคลื่นสสารจึงสำคัญสำหรับอิเล็กตรอน แต่ไม่สำคัญสำหรับลูกเบสบอล อิเล็กตรอนสามารถมีความยาวคลื่นใกล้เคียงกับระยะห่างระดับอะตอมได้ จึงเกิดการเลี้ยวเบนและการแทรกสอดได้ ส่วนวัตถุขนาดมหภาคมักมีโมเมนตัมมากจนความยาวคลื่นเล็กเกินกว่าจะสังเกตได้

สูตรความยาวคลื่นเดอบรอยล์

สูตรนี้ไม่ได้หมายความว่าอนุภาคกลายเป็นคลื่นน้ำแบบคลาสสิก แต่มันหมายความว่าอนุภาคมีพฤติกรรมแบบคลื่น และความยาวคลื่นของพฤติกรรมนั้นขึ้นอยู่กับโมเมนตัม

รูปแบบที่สำคัญที่สุดยังคงเป็น

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

ควรเริ่มจากรูปนี้ก่อนทุกครั้งที่ทำได้ เพราะเป็นความสัมพันธ์ทั่วไป ในโจทย์พื้นฐานหลายข้อ จากนั้นคุณอาจแทน $p$ ด้วยนิพจน์ที่ง่ายกว่า

$$p = mv$$

หรือ

$$p = \sqrt{2mK}$$

แต่นี่เป็นสูตรแบบไม่สัมพัทธภาพ ใช้ได้เฉพาะเมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ช้าพอจนละเลยผลสัมพัทธภาพได้

มองภาพให้ออก: เมื่อไรคลื่นสสารจึงสำคัญ

ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ช่วยให้คุณตัดสินได้ว่าเมื่อไรพฤติกรรมแบบคลื่นจะสังเกตเห็นได้ชัด ถ้าความยาวคลื่นของอนุภาคมีขนาดใกล้เคียงกับระยะห่างหรือขนาดในชุดการทดลอง การแทรกสอดและการเลี้ยวเบนอาจมีความสำคัญ แต่ถ้าความยาวคลื่นเล็กกว่าสเกลนั้นมาก ภาพแบบคลาสสิกก็มักเพียงพอ

แนวคิดเชิงปฏิบัติคือ

• โมเมนตัมมาก $\rightarrow$ ความยาวคลื่นสั้น
• โมเมนตัมน้อย $\rightarrow$ ความยาวคลื่นยาว

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าอิเล็กตรอนสามารถให้ลวดลายการเลี้ยวเบนในผลึกได้ ขณะที่วัตถุในชีวิตประจำวันไม่แสดงพฤติกรรมคลื่นสสารที่มองเห็นได้ในการทดลองทั่วไป

ตัวอย่างคำนวณ: ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ของอิเล็กตรอนที่ผ่านศักย์ไฟฟ้า 150 V

สมมติว่าอิเล็กตรอนเริ่มจากหยุดนิ่งและถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ $150\ \mathrm{V}$ จงหาความยาวคลื่นเดอบรอยล์ของมัน

ที่แรงดันนี้ การประมาณแบบไม่สัมพัทธภาพถือเป็นมาตรฐานสำหรับการคำนวณระดับเบื้องต้น ดังนั้นใช้

$$p = \sqrt{2mK}$$

พลังงานจลน์ที่อิเล็กตรอนได้รับเมื่อถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ $\Delta V$ คือ

$$K = e\Delta V$$

ดังนั้นความยาวคลื่นเดอบรอยล์คือ

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2me\Delta V}}$$

ตอนนี้แทนค่าคงที่และ $\Delta V = 150\ \mathrm{V}$:

$$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2(9.11 \times 10^{-31})(1.602 \times 10^{-19})(150)}}$$

จะได้ว่า

$$\lambda \approx 1.00 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

หรือ

$$\lambda \approx 0.100\ \mathrm{nm}$$

ความยาวคลื่นนี้อยู่ในระดับเดียวกับระยะห่างระหว่างอะตอม ดังนั้นการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนจึงสมเหตุสมผล ความยาวคลื่นมีขนาดเล็ก แต่ยังมากพอที่จะมีปฏิสัมพันธ์กับโครงสร้างของผลึก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์ความยาวคลื่นเดอบรอยล์

ใช้ $p = mv$ โดยอัตโนมัติ

$p = mv$ ไม่ใช่กฎหลักในเรื่องนี้ กฎหลักคือ $\lambda = h/p$ ส่วนสูตรลัด $p = mv$ ใช้ได้เฉพาะในช่วงไม่สัมพัทธภาพเท่านั้น

คิดว่าความยาวคลื่นคือขนาดจริงของอนุภาค

ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของอนุภาค แต่มันคือความยาวคลื่นที่สัมพันธ์กับโมเมนตัมและพฤติกรรมแบบคลื่นของมัน

มองข้ามสเกลทางกายภาพ

ตัวเลขเพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกอะไรนัก คำถามที่มีประโยชน์คือ ความยาวคลื่นมีขนาดใกล้เคียงกับสเกลของช่องแคบ ระยะคงที่ของโครงผลึก หรือขนาดการกักกันในโจทย์หรือไม่

สับสนระหว่างสูตรพลังงานกับสูตรโมเมนตัม

ถ้าโจทย์ให้พลังงานจลน์ แรงดันไฟฟ้า หรือข้อมูลเชิงสัมพัทธภาพ คุณควรแปลงเป็นโมเมนตัมอย่างระมัดระวังก่อนใช้ $\lambda = h/p$

ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ถูกใช้ที่ไหน

ความยาวคลื่นเดอบรอยล์ปรากฏในเรื่องการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน การเลี้ยวเบนของนิวตรอน กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบส่องผ่าน และแบบจำลองควอนตัมพื้นฐาน เช่น อนุภาคในกล่อง ในภาพรวม มันเป็นหนึ่งในความเชื่อมโยงที่ชัดเจนที่สุดระหว่างโมเมนตัมแบบคลาสสิกกับพฤติกรรมควอนตัม

มันมีประโยชน์มากโดยเฉพาะเมื่อคุณต้องการตอบคำถามเชิงปฏิบัติว่า ที่นี่ควรคาดหวังผลแบบคลื่นหรือไม่ หรือการประมาณแบบคลาสสิกก็เพียงพอแล้ว

ลองทำเวอร์ชันของคุณเอง

ใช้ตัวอย่างอิเล็กตรอนเดิม แต่เปลี่ยนแรงดันเร่งจาก $150\ \mathrm{V}$ เป็น $600\ \mathrm{V}$ ลองทำนายการเปลี่ยนแปลงก่อนคำนวณ: แรงดันที่สูงขึ้นทำให้อิเล็กตรอนมีโมเมนตัมมากขึ้น ดังนั้นความยาวคลื่นเดอบรอยล์จึงสั้นลง

ถ้าคุณอยากลองทำเวอร์ชันของตัวเองด้วยตัวเลขอื่น ๆ GPAI Solver สามารถช่วยตรวจสอบขั้นตอนการหาโมเมนตัมและการแปลงหน่วยได้