ド・ブロイ波長 — 物質波の公式と例題

ド・ブロイ波長とは、粒子の運動量に結びついた波長のことです。ド・ブロイ波長の公式を探しているなら、重要な関係式は次です。

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

ここで $\lambda$ は波長、$h$ はプランク定数、$p$ は運動量です。運動量が大きいほど、波長は短くなります。

このため、物質波は野球ボールではなく電子で重要になります。電子は原子間隔と同程度の波長をもちうるので、回折や干渉が現れます。巨視的な物体は通常、運動量が非常に大きいため、波長が小さすぎて観測できません。

ド・ブロイ波長の公式

この公式は、粒子が古典的な水の波になるという意味ではありません。粒子が波のような性質を示し、その波長が運動量によって決まるという意味です。

最も重要な形はやはり

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

です。これは一般的な関係式なので、できるだけまずこの形から始めましょう。入門レベルの問題では、そのあとで $p$ をより簡単な式に置き換えることがあります。

$$p = mv$$

または

$$p = \sqrt{2mK}$$

ただし、これらは非相対論的な公式です。粒子の速さが十分に小さく、相対論的効果を無視できる場合にだけ使ってください。

直感：物質波が重要になるのはいつか

ド・ブロイ波長を使うと、波としての振る舞いが目立つかどうかを判断できます。粒子の波長が装置内の間隔や大きさと同程度なら、干渉や回折が重要になります。波長がそのスケールよりはるかに小さいなら、古典的な描像で十分なことが多いです。

実用的な直感としては次の通りです。

• 運動量が大きい $\rightarrow$ 波長は短い
• 運動量が小さい $\rightarrow$ 波長は長い

だからこそ、電子は結晶で回折パターンを作れますが、日常の物体は普通の実験で目に見える物質波的ふるまいを示しません。

計算例：150 V で加速された電子のド・ブロイ波長

静止していた電子が、電位差 $150\ \mathrm{V}$ を通って加速されたとします。この電子のド・ブロイ波長を求めましょう。

この電圧では、入門的な計算として非相対論的近似を使うのが一般的なので、

$$p = \sqrt{2mK}$$

を用います。

電位差 $\Delta V$ で加速された電子が得る運動エネルギーは

$$K = e\Delta V$$

です。

したがって、ド・ブロイ波長は

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2me\Delta V}}$$

となります。

では、定数と $\Delta V = 150\ \mathrm{V}$ を代入します。

$$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2(9.11 \times 10^{-31})(1.602 \times 10^{-19})(150)}}$$

これより

$$\lambda \approx 1.00 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

すなわち

$$\lambda \approx 0.100\ \mathrm{nm}$$

となります。

この波長は原子間隔と同程度です。したがって、電子回折が起こるのは自然です。波長は小さいですが、結晶構造と相互作用するには十分な大きさがあります。

ド・ブロイ波長の問題でよくあるミス

自動的に $p = mv$ を使ってしまう

ここでの基本法則は $p = mv$ ではありません。基本法則は $\lambda = h/p$ です。近道としての $p = mv$ は、非相対論的な領域でしか使えません。

波長を粒子の文字通りの大きさだと考える

ド・ブロイ波長は粒子の直径ではありません。これは、その粒子の運動量と波動的ふるまいに対応する波長です。

物理的スケールを無視する

数値だけを見ても、あまり多くはわかりません。重要なのは、その波長が問題に出てくるスリット幅、格子間隔、閉じ込めの大きさなどと同程度かどうかです。

エネルギーと運動量の公式を混同する

問題で運動エネルギー、電圧、あるいは相対論的な情報が与えられているなら、$\lambda = h/p$ を使う前に、注意して運動量へ変換する必要があります。

ド・ブロイ波長が使われる場面

ド・ブロイ波長は、電子回折、中性子回折、透過型電子顕微鏡、そして箱の中の粒子のような基本的な量子モデルで現れます。より広く見れば、これは古典的な運動量と量子的なふるまいを結びつける最も明確な関係の一つです。

特に役立つのは、ここで波の効果を期待すべきか、それとも古典近似で十分か、という実用的な問いに答えたいときです。

自分でも試してみよう

同じ電子の例で、加速電圧を $150\ \mathrm{V}$ から $600\ \mathrm{V}$ に変えてみましょう。計算する前に変化を予想してください。電圧が高いほど電子の運動量は大きくなるので、ド・ブロイ波長は短くなります。

別の数値で自分なりの問題を試したいなら、GPAI Solver を使って運動量の計算や単位変換を確認できます。