Volume d’une pyramide — formule et exemples

Pour trouver le volume d’une pyramide, on utilise $V = \frac{1}{3}Bh$, où $B$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur perpendiculaire. Cela fonctionne pour les pyramides à base carrée, rectangulaire ou triangulaire, car la formule dépend de l’aire de la base, et non de sa forme.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Si vous connaissez déjà l’aire de la base, le calcul est généralement rapide : multipliez par la hauteur perpendiculaire, puis divisez par $3$.

Ce que signifie la formule du volume d’une pyramide

Le facteur $B$ représente l’aire totale de la base, et non une simple longueur de côté. C’est important, car les pyramides peuvent avoir des bases de formes différentes, comme des bases carrées, rectangulaires ou triangulaires.

Le facteur $h$ est la hauteur droite entre la base et le sommet. Elle doit être perpendiculaire à la base. Si un exercice donne une hauteur oblique, cela ne suffit pas à lui seul, sauf si vous la convertissez d’abord en hauteur perpendiculaire.

Le facteur $\frac{1}{3}$ indique qu’une pyramide a un volume égal au tiers de celui d’un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur perpendiculaire.

Pourquoi il y a un tiers

Un prisme ayant la même aire de base $B$ et la même hauteur $h$ a pour volume

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

Une pyramide se rétrécit jusqu’à un point, donc elle contient moins d’espace que ce prisme. Pour une même aire de base et une même hauteur perpendiculaire, elle contient exactement un tiers de ce volume :

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

Cette comparaison est souvent la façon la plus simple de retenir la formule.

Exemple résolu : volume d’une pyramide à base carrée

Supposons qu’une pyramide à base carrée ait un côté de base de longueur $6$ cm et une hauteur perpendiculaire de $10$ cm.

Commencez par calculer l’aire de la base :

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

Puis remplacez dans la formule :

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

Simplifiez maintenant :

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

Donc le volume est $120 \text{ cm}^3$.

Les unités sont des centimètres cubes, car le volume mesure un espace en trois dimensions.

Formules pour la pyramide à base carrée et la pyramide à base rectangulaire

La formule principale reste la même. Ce qui change, c’est la façon de calculer l’aire de la base.

Pour une pyramide à base carrée de côté $s$,

$$B = s^2$$

donc

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

Pour une pyramide à base rectangulaire de longueur $l$ et de largeur $w$,

$$B = lw$$

donc

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

Ces deux formules ne sont que des cas particuliers de $V = \frac{1}{3}Bh$.

Erreurs fréquentes dans le calcul du volume d’une pyramide

1. Utiliser une longueur de côté au lieu de l’aire complète de la base. La formule demande $B$, pas seulement une mesure de la base.
2. Utiliser la hauteur oblique au lieu de la hauteur perpendiculaire. Le volume dépend de la hauteur droite jusqu’à la base.
3. Oublier le $\frac{1}{3}$. Sans lui, vous calculez le volume du prisme correspondant.
4. Écrire des unités carrées au lieu d’unités cubes. L’aire de la base s’exprime en unités carrées, mais le volume en unités cubes.
5. Utiliser un raccourci comme $V = \frac{1}{3}s^2 h$ alors que la base n’est pas réellement un carré.

Quand utilise-t-on cette formule ?

Cette formule apparaît en géométrie, en calcul de mesures, dans les estimations de construction et dans toute situation où un solide peut être modélisé comme une pyramide ou une forme proche d’une pyramide.

Si l’objet n’est qu’approximativement pyramidal, le résultat sera lui aussi une estimation. La formule reste utile lorsqu’on a besoin rapidement d’un volume pratique.

Vérification rapide avant de finir

Si un prisme ayant la même aire de base et la même hauteur aurait pour volume $Bh$, alors la pyramide devrait avoir pour volume $Bh/3$.

Donc, si votre réponse est égale à $Bh$, vous avez probablement oublié le facteur $\frac{1}{3}$.

Essayez un exercice similaire

Essayez avec une pyramide à base rectangulaire de base $8$ cm sur $5$ cm et de hauteur perpendiculaire $9$ cm. Calculez d’abord l’aire de la base, puis appliquez $V = \frac{1}{3}Bh$.

Si vous voulez tester vos propres valeurs et comparer rapidement plusieurs cas, résolvez un exercice similaire de volume avec GPAI Solver et observez comment la réponse change lorsque seule l’aire de la base ou la hauteur varie.