角錐の体積 — 公式と例題

角錐の体積を求めるには、$V = \frac{1}{3}Bh$ を使います。ここで $B$ は底面積、$h$ は垂直な高さです。この公式は、底面の形ではなく底面積に基づいているため、正方形・長方形・三角形の角錐にも使えます。

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

底面積がすでにわかっているなら、計算はたいていすぐです。垂直な高さをかけて、最後に $3$ で割ります。

角錐の体積の公式の意味

$B$ は底面全体の面積を表し、底辺の長さ1つだけを表すのではありません。これは、角錐の底面が正方形、長方形、三角形など、さまざまな形になりうるため重要です。

$h$ は底面から頂点までのまっすぐな高さです。底面に垂直でなければなりません。問題で斜高が与えられていても、それだけでは不十分で、まず垂直な高さに直す必要があります。

$\frac{1}{3}$ は、同じ底面積と同じ垂直な高さをもつ柱体の体積の3分の1が角錐の体積になることを表しています。

なぜ3分の1になるのか

同じ底面積 $B$、高さ $h$ をもつ柱体の体積は

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

です。

角錐は先端に向かって細くなるので、その柱体より入る空間が小さくなります。同じ底面積と垂直な高さなら、体積はちょうどその3分の1です。

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

この比較で覚えるのが、公式を覚えるいちばん簡単な方法であることが多いです。

例題：四角錐の体積

底面が一辺 $6$ cm の正方形で、垂直な高さが $10$ cm の四角錐を考えます。

まず底面積を求めます。

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

次に公式に代入します。

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

これを簡単にすると、

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

となります。

したがって、体積は $120 \text{ cm}^3$ です。

単位が立方センチメートルになるのは、体積が三次元の空間の大きさを表すからです。

正四角錐と直方体型の角錐の公式

基本の公式は同じです。変わるのは底面積の求め方だけです。

底面の一辺が $s$ の正方形である四角錐では、

$$B = s^2$$

なので、

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

となります。

底面の縦が $l$、横が $w$ の長方形である角錐では、

$$B = lw$$

なので、

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

となります。

どちらも $V = \frac{1}{3}Bh$ の特別な場合にすぎません。

角錐の体積を求めるときによくある間違い

1. 底面積全体ではなく、一辺の長さだけを使ってしまうこと。公式で必要なのは $B$ であり、底面の1つの長さだけではありません。
2. 垂直な高さではなく斜高を使ってしまうこと。体積は底面へのまっすぐな高さで決まります。
3. $\frac{1}{3}$ を忘れてしまうこと。これを入れないと、対応する柱体の体積を計算していることになります。
4. 立方単位ではなく平方単位で答えてしまうこと。底面積は平方単位ですが、体積は立方単位です。
5. 底面が正方形でないのに、$V = \frac{1}{3}s^2 h$ のような近道の公式を使ってしまうこと。

この公式を使う場面

この公式は、幾何学、測量、建設の見積もり、そして立体を角錐または角錐に近い形としてモデル化できるあらゆる場面で現れます。

物体が完全な角錐ではなく近い形である場合、結果も近似値になります。それでも、実用的な体積をすばやく求めたいときには役立つ公式です。

解き終える前のチェック

同じ底面積と高さをもつ柱体の体積が $Bh$ なら、角錐の体積は $Bh/3$ になるはずです。

したがって、答えが $Bh$ と同じになったなら、$\frac{1}{3}$ を入れ忘れている可能性が高いです。

似た問題に挑戦してみよう

底面が $8$ cm × $5$ cm、垂直な高さが $9$ cm の長方形の角錐を考えてみましょう。まず底面積を求めてから、$V = \frac{1}{3}Bh$ を使ってください。

自分で数値を変えて、底面積だけや高さだけを変えたときに答えがどう変わるかをすばやく比べたいなら、GPAI Solver で同じような体積の問題を解いて確認してみましょう。