Objętość ostrosłupa — wzór i przykłady

Aby obliczyć objętość ostrosłupa, użyj wzoru $V = \frac{1}{3}Bh$, gdzie $B$ oznacza pole podstawy, a $h$ wysokość prostopadłą. Działa to dla ostrosłupów o podstawie kwadratowej, prostokątnej i trójkątnej, ponieważ wzór zależy od pola podstawy, a nie od jej kształtu.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Jeśli znasz już pole podstawy, zadanie jest zwykle szybkie: pomnóż je przez wysokość prostopadłą, a następnie podziel przez $3$.

Co oznacza wzór na objętość ostrosłupa

Czynnik $B$ oznacza całe pole podstawy, a nie tylko długość jednego boku. To ważne, ponieważ ostrosłupy mogą mieć różne kształty podstawy, na przykład kwadrat, prostokąt lub trójkąt.

Czynnik $h$ to prosta wysokość od podstawy do wierzchołka. Musi być prostopadła do podstawy. Jeśli w zadaniu podano wysokość pochyłą, to sama w sobie nie wystarczy, chyba że najpierw przeliczysz ją na wysokość prostopadłą.

Czynnik $\frac{1}{3}$ mówi, że ostrosłup ma jedną trzecią objętości graniastosłupa o takim samym polu podstawy i tej samej wysokości prostopadłej.

Dlaczego pojawia się jedna trzecia

Graniastosłup o tym samym polu podstawy $B$ i wysokości $h$ ma objętość

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

Ostrosłup zwęża się do punktu, więc mieści mniej przestrzeni niż taki graniastosłup. Przy tym samym polu podstawy i tej samej wysokości prostopadłej ma dokładnie jedną trzecią tej objętości:

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

To porównanie jest często najłatwiejszym sposobem na zapamiętanie wzoru.

Przykład obliczeniowy: objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Załóżmy, że ostrosłup o podstawie kwadratu ma bok podstawy długości $6$ cm i wysokość prostopadłą $10$ cm.

Najpierw oblicz pole podstawy:

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

Następnie podstaw do wzoru:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

Teraz uprość:

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

Zatem objętość wynosi $120 \text{ cm}^3$.

Jednostką są centymetry sześcienne, ponieważ objętość mierzy przestrzeń trójwymiarową.

Wzory dla ostrosłupa o podstawie kwadratu i prostokąta

Główny wzór pozostaje taki sam. Zmienia się tylko sposób obliczania pola podstawy.

Dla ostrosłupa o podstawie kwadratu, którego bok podstawy ma długość $s$,

$$B = s^2$$

więc

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

Dla ostrosłupa o podstawie prostokąta, którego długość podstawy wynosi $l$, a szerokość $w$,

$$B = lw$$

więc

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

Oba wzory są tylko szczególnymi przypadkami wzoru $V = \frac{1}{3}Bh$.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu objętości ostrosłupa

1. Używanie długości boku zamiast całego pola podstawy. We wzorze potrzebne jest $B$, a nie tylko jeden wymiar podstawy.
2. Używanie wysokości pochyłej zamiast wysokości prostopadłej. Objętość zależy od prostej wysokości do podstawy.
3. Pomijanie $\frac{1}{3}$. Bez tego obliczasz objętość odpowiadającego graniastosłupa.
4. Zapisywanie jednostek kwadratowych zamiast sześciennych. Pole podstawy ma jednostki kwadratowe, ale objętość ma jednostki sześcienne.
5. Używanie skrótu takiego jak $V = \frac{1}{3}s^2 h$, gdy podstawa w rzeczywistości nie jest kwadratem.

Kiedy używa się tego wzoru

Ten wzór pojawia się w geometrii, stereometrii, szacunkach budowlanych i wszędzie tam, gdzie bryłę można modelować jako ostrosłup lub bryłę zbliżoną do ostrosłupa.

Jeśli obiekt ma tylko w przybliżeniu kształt ostrosłupa, wynik także będzie przybliżeniem. Mimo to wzór jest bardzo przydatny, gdy potrzebujesz szybko oszacować objętość.

Szybkie sprawdzenie przed zakończeniem

Jeśli graniastosłup o tym samym polu podstawy i wysokości miałby objętość $Bh$, to ostrosłup powinien mieć objętość $Bh/3$.

Jeśli więc Twój wynik wychodzi równy $Bh$, prawdopodobnie pominięto czynnik $\frac{1}{3}$.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć objętość ostrosłupa o podstawie prostokąta $8$ cm na $5$ cm i wysokości prostopadłej $9$ cm. Najpierw oblicz pole podstawy, a potem zastosuj $V = \frac{1}{3}Bh$.

Jeśli chcesz wypróbować własne liczby i szybko porównać różne przypadki, rozwiąż podobne zadanie na objętość za pomocą GPAI Solver i sprawdź, jak zmienia się wynik, gdy zmienia się tylko pole podstawy albo wysokość.