Volumen einer Pyramide — Formel & Beispiele

Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, verwendet man $V = \frac{1}{3}Bh$, wobei $B$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die senkrechte Höhe ist. Das gilt für quadratische, rechteckige und dreieckige Pyramiden, weil die Formel von der Grundfläche abhängt und nicht von ihrer Form.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Wenn du den Flächeninhalt der Grundfläche schon kennst, ist die Aufgabe meist schnell gelöst: Multipliziere mit der senkrechten Höhe und teile dann durch $3$.

Was die Formel für das Volumen einer Pyramide bedeutet

Der Faktor $B$ steht für den gesamten Flächeninhalt der Grundfläche, nicht nur für eine Seitenlänge. Das ist wichtig, weil Pyramiden unterschiedliche Grundformen haben können, zum Beispiel quadratische, rechteckige oder dreieckige Grundflächen.

Der Faktor $h$ ist die gerade Höhe von der Grundfläche zur Spitze. Sie muss senkrecht auf der Grundfläche stehen. Wenn in einer Aufgabe die Seitenhöhe gegeben ist, reicht das allein nicht aus, es sei denn, du wandelst sie zuerst in die senkrechte Höhe um.

Der Faktor $\frac{1}{3}$ zeigt, dass eine Pyramide nur ein Drittel des Volumens eines Prismas mit derselben Grundfläche und derselben senkrechten Höhe hat.

Warum ein Drittel vorkommt

Ein Prisma mit derselben Grundfläche $B$ und Höhe $h$ hat das Volumen

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

Eine Pyramide läuft nach oben in einer Spitze zusammen und enthält deshalb weniger Raum als dieses Prisma. Bei gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe enthält sie genau ein Drittel davon:

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

Dieser Vergleich ist oft der einfachste Weg, sich die Formel zu merken.

Beispielrechnung: Volumen einer quadratischen Pyramide

Angenommen, eine quadratische Pyramide hat eine Grundkantenlänge von $6$ cm und eine senkrechte Höhe von $10$ cm.

Berechne zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche:

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

Setze dann in die Formel ein:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

Vereinfache nun:

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

Das Volumen beträgt also $120 \text{ cm}^3$.

Die Einheit ist Kubikzentimeter, weil Volumen den dreidimensionalen Raum misst.

Formeln für quadratische und rechteckige Pyramiden

Die Grundformel bleibt gleich. Was sich ändert, ist die Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche.

Für eine quadratische Pyramide mit Grundkantenlänge $s$ gilt

$$B = s^2$$

also

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

Für eine rechteckige Pyramide mit Grundlänge $l$ und Grundbreite $w$ gilt

$$B = lw$$

also

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

Beides sind nur Spezialfälle von $V = \frac{1}{3}Bh$.

Häufige Fehler beim Berechnen des Volumens einer Pyramide

1. Eine Seitenlänge statt des gesamten Flächeninhalts der Grundfläche zu verwenden. Die Formel braucht $B$, nicht nur ein einzelnes Maß der Grundfläche.
2. Die Seitenhöhe statt der senkrechten Höhe zu verwenden. Das Volumen hängt von der geraden Höhe zur Grundfläche ab.
3. Das $\frac{1}{3}$ zu vergessen. Ohne diesen Faktor berechnest du das Volumen des entsprechenden Prismas.
4. Quadrateinheiten statt Kubikeinheiten anzugeben. Der Flächeninhalt der Grundfläche hat Quadrateinheiten, das Volumen aber Kubikeinheiten.
5. Eine Kurzform wie $V = \frac{1}{3}s^2 h$ zu verwenden, obwohl die Grundfläche gar kein Quadrat ist.

Wann diese Formel verwendet wird

Diese Formel kommt in der Geometrie, der Flächen- und Körperberechnung, bei Bauschätzungen und überall dort vor, wo ein Körper als Pyramide oder annähernd als Pyramide modelliert werden kann.

Wenn der Körper nur ungefähr pyramidenförmig ist, ist das Ergebnis ebenfalls nur eine Näherung. Die Formel ist trotzdem nützlich, wenn du schnell ein praktisches Volumen brauchst.

Kurze Kontrolle vor dem Abschluss

Wenn ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe das Volumen $Bh$ hätte, dann muss die Pyramide das Volumen $Bh/3$ haben.

Wenn dein Ergebnis also gleich $Bh$ ist, hast du den Faktor $\frac{1}{3}$ wahrscheinlich vergessen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche es mit einer rechteckigen Pyramide mit einer Grundfläche von $8$ cm mal $5$ cm und einer senkrechten Höhe von $9$ cm. Berechne zuerst den Flächeninhalt der Grundfläche und verwende dann $V = \frac{1}{3}Bh$.

Wenn du eigene Zahlen ausprobieren und Fälle schnell vergleichen möchtest, löse eine ähnliche Volumenaufgabe mit GPAI Solver und prüfe, wie sich das Ergebnis ändert, wenn sich nur die Grundfläche oder die Höhe verändert.