Thể tích hình chóp — Công thức & Ví dụ

Để tính thể tích hình chóp, dùng công thức $V = \frac{1}{3}Bh$, trong đó $B$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao vuông góc. Công thức này áp dụng cho hình chóp đáy vuông, đáy chữ nhật và đáy tam giác vì nó phụ thuộc vào diện tích đáy, không phụ thuộc vào hình dạng của đáy.

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Nếu bạn đã biết diện tích đáy, bài toán thường khá nhanh: nhân với chiều cao vuông góc rồi chia cho $3$.

Ý nghĩa của công thức thể tích hình chóp

Thừa số $B$ là toàn bộ diện tích của đáy, không chỉ là độ dài một cạnh. Điều này quan trọng vì hình chóp có thể có nhiều dạng đáy khác nhau, như đáy vuông, đáy chữ nhật hoặc đáy tam giác.

Thừa số $h$ là chiều cao thẳng từ đáy đến đỉnh. Nó phải vuông góc với mặt đáy. Nếu đề bài cho chiều cao nghiêng, thì chỉ riêng giá trị đó là chưa đủ, trừ khi bạn đổi nó về chiều cao vuông góc trước.

Thừa số $\frac{1}{3}$ cho biết hình chóp có thể tích bằng một phần ba thể tích của một hình lăng trụ có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao vuông góc.

Vì sao có hệ số một phần ba

Một hình lăng trụ có cùng diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ thì có thể tích là

$$V_{\text{prism}} = Bh$$

Hình chóp thu nhỏ dần về một đỉnh, nên nó chứa ít không gian hơn hình lăng trụ đó. Với cùng diện tích đáy và chiều cao vuông góc, nó chứa đúng bằng một phần ba:

$$V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3}Bh$$

Cách so sánh này thường là cách dễ nhất để nhớ công thức.

Ví dụ có lời giải: thể tích hình chóp đáy vuông

Giả sử một hình chóp đáy vuông có cạnh đáy dài $6$ cm và chiều cao vuông góc là $10$ cm.

Trước tiên tính diện tích đáy:

$$B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

Sau đó thay vào công thức:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$ $$V = \frac{1}{3}(36)(10)$$

Bây giờ rút gọn:

$$V = \frac{360}{3} = 120$$

Vậy thể tích là $120 \text{ cm}^3$.

Đơn vị là xăng-ti-mét khối vì thể tích đo không gian ba chiều.

Công thức cho hình chóp đáy vuông và hình chóp đáy chữ nhật

Công thức chính vẫn giữ nguyên. Điều thay đổi là cách bạn tính diện tích đáy.

Với hình chóp đáy vuông có cạnh đáy dài $s$,

$$B = s^2$$

nên

$$V = \frac{1}{3}s^2 h$$

Với hình chóp đáy chữ nhật có chiều dài đáy $l$ và chiều rộng đáy $w$,

$$B = lw$$

nên

$$V = \frac{1}{3}lwh$$

Cả hai chỉ là những trường hợp riêng của $V = \frac{1}{3}Bh$.

Những lỗi thường gặp khi tính thể tích hình chóp

1. Dùng độ dài một cạnh thay cho toàn bộ diện tích đáy. Công thức cần $B$, không chỉ một số đo của đáy.
2. Dùng chiều cao nghiêng thay cho chiều cao vuông góc. Thể tích phụ thuộc vào chiều cao thẳng đến mặt đáy.
3. Quên $\frac{1}{3}$. Nếu thiếu nó, bạn đang tính thể tích của hình lăng trụ tương ứng.
4. Viết đơn vị vuông thay vì đơn vị khối. Diện tích đáy dùng đơn vị vuông, nhưng thể tích dùng đơn vị khối.
5. Dùng công thức rút gọn như $V = \frac{1}{3}s^2 h$ khi đáy thực ra không phải là hình vuông.

Khi nào dùng công thức này

Công thức này xuất hiện trong hình học, đo lường hình học, ước tính xây dựng và mọi tình huống mà một khối có thể được mô hình hóa như hình chóp hoặc gần giống hình chóp.

Nếu vật thể chỉ gần đúng là hình chóp, thì kết quả cũng chỉ là một giá trị ước tính. Dù vậy, công thức vẫn hữu ích khi bạn cần tính nhanh một thể tích thực tế.

Kiểm tra nhanh trước khi hoàn thành

Nếu một hình lăng trụ có cùng diện tích đáy và chiều cao sẽ có thể tích là $Bh$, thì hình chóp phải có thể tích là $Bh/3$.

Vì vậy, nếu đáp án của bạn bằng đúng $Bh$, thì rất có thể bạn đã bỏ sót hệ số $\frac{1}{3}$.

Thử một bài tương tự

Hãy thử với một hình chóp đáy chữ nhật có đáy $8$ cm nhân $5$ cm và chiều cao vuông góc $9$ cm. Trước tiên hãy tính diện tích đáy, rồi áp dụng $V = \frac{1}{3}Bh$.

Nếu bạn muốn thử với các số liệu của riêng mình và so sánh các trường hợp nhanh hơn, hãy giải một bài toán thể tích tương tự bằng GPAI Solver và kiểm tra xem đáp án thay đổi thế nào khi chỉ thay đổi diện tích đáy hoặc chiều cao.