Formule quadratique

La formule quadratique permet de résoudre une équation du second degré sous forme standard :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

On l’utilise pour les équations de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \ne 0$. Si un trinôme se factorise rapidement, la factorisation est souvent plus rapide. Sinon, la formule quadratique est la méthode fiable qui fonctionne quand même.

Ce que la formule quadratique vous indique

La formule donne la ou les valeurs de $x$ qui rendent le trinôme égal à zéro. Dans $ax^2 + bx + c = 0$, les nombres $a$, $b$ et $c$ sont les coefficients que l’on remplace dans la formule.

La partie sous la racine carrée,

$$b^2 - 4ac$$

s’appelle le discriminant. Il permet de prévoir le type de réponse avant même de terminer les calculs :

1. Si $b^2 - 4ac > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes.
2. Si $b^2 - 4ac = 0$, il y a une solution réelle double.
3. Si $b^2 - 4ac < 0$, il n’y a pas de solution réelle. Dans ce cas, les solutions sont complexes.

Cette vérification rapide est utile, car elle vous indique à quoi vous attendre avec la formule.

Pourquoi elle fonctionne

Une équation du second degré peut avoir jusqu’à deux valeurs de $x$ pour lesquelles sa courbe coupe l’axe des $x$. La formule quadratique est le résultat général de la complétion du carré, donc elle donne directement ces intersections sans avoir à deviner des facteurs.

Vous n’avez pas besoin de la redémontrer à chaque fois. En pratique, l’essentiel est d’identifier correctement $a$, $b$ et $c$ et de bien gérer les signes.

Exemple détaillé : résoudre $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Commençons par identifier les coefficients :

$$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2$$

Remplaçons maintenant dans la formule :

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$$

Calculons d’abord l’expression sous la racine carrée :

$$3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

La formule devient donc

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$

Évaluons maintenant les deux cas :

$$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Les solutions sont donc

$$x = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad x = -2$$

Vous pouvez vérifier une racine par substitution. Quand $x = \frac{1}{2}$,

$$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$

Cela confirme que cette valeur convient.

Erreurs fréquentes avec la formule quadratique

1. Ne pas réécrire d’abord l’équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Si le membre de droite n’est pas zéro, les coefficients ne sont pas prêts pour la formule.
2. Perdre le signe de $b$ ou de $c$. Si $b = -7$, alors $-b = 7$, et non $-7$.
3. Oublier que le dénominateur est tout entier $2a$. Tout le numérateur $-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$ est divisé par $2a$.
4. Ne calculer qu’un seul cas. Le symbole $\pm$ signifie qu’il faut vérifier les versions avec le plus et avec le moins.
5. Faire des erreurs de calcul dans le discriminant. De petites erreurs de signe à cet endroit changent toute la réponse.

Quand utiliser la formule quadratique

La formule quadratique est particulièrement utile lorsque :

1. Un trinôme ne se factorise pas facilement.
2. Vous voulez une méthode qui fonctionne toujours pour les équations du second degré sous forme standard.
3. Vous voulez savoir combien de solutions réelles attendre grâce au discriminant.
4. Vous comparez des méthodes comme la factorisation, la complétion du carré et la représentation graphique.

Essayez un problème similaire

Résolvez $x^2 - 6x + 5 = 0$ en suivant les mêmes étapes : identifiez $a$, $b$ et $c$, calculez le discriminant, puis évaluez les deux cas. Si vous voulez une comparaison utile, factorisez ensuite le trinôme et vérifiez que les deux méthodes donnent les mêmes racines.