Parabole — Équation, foyer, directrice et graphique

Une parabole est l’ensemble de tous les points qui sont à la même distance d’un point fixe, appelé le foyer, et d’une droite fixe, appelée la directrice. Cette seule règle explique l’équation de la parabole, le sens d’ouverture du graphique, et la façon de trouver le foyer et la directrice à partir de l’équation.

On représente souvent une parabole comme une courbe en U, mais cette image ne montre qu’une partie de l’idée. Le fait le plus utile est le suivant : chaque point de la courbe vérifie la même condition de distance.

Éléments clés d’une parabole

Le sommet est le point de rebroussement de la parabole. Il se situe à mi-distance entre le foyer et la directrice le long de l’axe de symétrie.

L’axe de symétrie est la droite qui partage la parabole en deux moitiés symétriques. Si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas, l’axe est vertical. Si elle s’ouvre vers la gauche ou vers la droite, l’axe est horizontal.

La parabole s’ouvre toujours vers le foyer et à l’opposé de la directrice.

Équation d’une parabole sous forme standard

Si le sommet est à l’origine, il existe deux formes standard.

Pour une parabole verticale,

$$x^2 = 4py$$

Le foyer est $(0, p)$ et la directrice est

$$y = -p$$

Si $p > 0$, la parabole s’ouvre vers le haut. Si $p < 0$, elle s’ouvre vers le bas.

Pour une parabole horizontale,

$$y^2 = 4px$$

Le foyer est $(p, 0)$ et la directrice est

$$x = -p$$

Si $p > 0$, la parabole s’ouvre vers la droite. Si $p < 0$, elle s’ouvre vers la gauche.

Le détail important est que le coefficient est $4p$, et non $p$.

Équations de paraboles décalées

Si le sommet est en $(h, k)$, les formes deviennent

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

et

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Pour

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

la parabole a pour sommet $(h, k)$, pour foyer $(h, k + p)$, et pour directrice

$$y = k - p$$

Pour

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

la parabole a pour sommet $(h, k)$, pour foyer $(h + p, k)$, et pour directrice

$$x = h - p$$

Ces formules supposent que l’équation est déjà écrite sous l’une de ces formes standard.

Exemple résolu : trouver le sommet, le foyer et la directrice

Considérons

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Faites-la correspondre à

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Donc

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

ce qui donne

$$p = 3$$

On lit alors facilement les caractéristiques principales :

• Sommet : $(2, -1)$
• Axe de symétrie : $x = 2$
• Ouverture : vers le haut, car $p > 0$
• Foyer : $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Directrice : $y = -1 - 3 = -4$

Le graphique est donc une parabole verticale de sommet $(2, -1)$, qui s’ouvre vers le haut en direction du foyer $(2, 2)$.

Comment tracer rapidement une parabole

Commencez par trouver le sommet. Regardez ensuite quelle variable est au carré.

Si la partie au carré est $(x - h)^2$, la parabole est verticale. Si la partie au carré est $(y - k)^2$, la parabole est horizontale.

Ensuite, trouvez $p$ à partir du facteur $4p$. Cela vous indique à la fois le sens d’ouverture et la distance du foyer et de la directrice par rapport au sommet.

Placez d’abord le sommet et le foyer, puis tracez la directrice. Une fois ces trois éléments en place, il devient beaucoup plus facile d’esquisser correctement la courbe.

Erreurs fréquentes avec les paraboles

Confondre $4p$ et $p$

Dans

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

il faut lire $4p = 12$, donc $p = 3$. Beaucoup d’erreurs viennent du fait qu’on prend directement $12$ pour $p$.

Mélanger les deux formes standard

Si $x$ est la variable au carré, la parabole est verticale. Si $y$ est la variable au carré, la parabole est horizontale. Inverser cela donne un foyer et une directrice incorrects.

Oublier le signe

Si $p$ est négatif, la parabole s’ouvre vers le bas ou vers la gauche, et non vers le haut ou vers la droite. Le signe détermine la direction.

Supposer que toute parabole a son sommet en $(0, 0)$

Cela n’est vrai que pour la forme la plus simple. Les équations décalées déplacent le sommet hors de l’origine.

Quand utilise-t-on une parabole ?

Les paraboles apparaissent en géométrie analytique, dans les graphes de fonctions quadratiques et dans les sections coniques. Elles interviennent aussi dans certains modèles de mouvement, comme le mouvement d’un projectile, mais seulement dans le cas idéalisé d’une gravité constante et d’une résistance de l’air négligeable.

Elles sont importantes en application parce qu’une parabole possède une propriété de réflexion : dans le modèle géométrique idéal, les rayons parallèles à son axe sont réfléchis vers le foyer. C’est pourquoi des formes paraboliques apparaissent dans certaines antennes, certains réflecteurs et certains miroirs.

Une façon simple de s’en souvenir

Si vous oubliez les formules, retenez d’abord la géométrie : une parabole est l’ensemble des points situés à égale distance du foyer et de la directrice. Le sommet se trouve au milieu, et la courbe s’ouvre vers le foyer.

À partir de là, il devient plus facile de reconstruire les équations que de les mémoriser mécaniquement.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Trouvez le sommet, le foyer, la directrice et le sens d’ouverture avant d’esquisser le graphique. Vérifiez ensuite si votre foyer se trouve bien du côté où la parabole s’ouvre.