Parabola — Persamaan, Fokus, Direktriks & Grafik

Parabola adalah himpunan semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik tetap, yang disebut fokus, dan sebuah garis tetap, yang disebut direktriks. Satu aturan ini menjelaskan persamaan parabola, ke mana grafiknya membuka, dan cara menemukan fokus serta direktriks dari persamaannya.

Parabola sering digambar seperti bentuk U, tetapi gambar itu hanya sebagian dari idenya. Fakta yang lebih berguna adalah ini: setiap titik pada kurva memenuhi syarat jarak yang sama.

Bagian-Bagian Penting Parabola

Titik puncak adalah titik belok parabola. Titik ini terletak tepat di tengah antara fokus dan direktriks sepanjang sumbu simetri.

Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian cermin. Jika parabola membuka ke atas atau ke bawah, sumbunya vertikal. Jika membuka ke kiri atau ke kanan, sumbunya horizontal.

Parabola selalu membuka ke arah fokus dan menjauhi direktriks.

Persamaan Parabola dalam Bentuk Standar

Jika titik puncak berada di titik asal, ada dua bentuk standar.

Untuk parabola vertikal,

$$x^2 = 4py$$

Fokusnya adalah $(0, p)$ dan direktriksnya

$$y = -p$$

Jika $p > 0$, parabola membuka ke atas. Jika $p < 0$, parabola membuka ke bawah.

Untuk parabola horizontal,

$$y^2 = 4px$$

Fokusnya adalah $(p, 0)$ dan direktriksnya

$$x = -p$$

Jika $p > 0$, parabola membuka ke kanan. Jika $p < 0$, parabola membuka ke kiri.

Hal penting yang perlu diperhatikan adalah koefisiennya $4p$, bukan $p$.

Persamaan Parabola yang Bergeser

Jika titik puncak berada di $(h, k)$, bentuknya menjadi

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

dan

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Untuk

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

parabola memiliki titik puncak $(h, k)$, fokus $(h, k + p)$, dan direktriks

$$y = k - p$$

Untuk

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

parabola memiliki titik puncak $(h, k)$, fokus $(h + p, k)$, dan direktriks

$$x = h - p$$

Rumus-rumus ini mengasumsikan bahwa persamaan sudah ditulis dalam salah satu bentuk standar tersebut.

Contoh Soal: Menentukan Titik Puncak, Fokus, dan Direktriks

Perhatikan

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Cocokkan dengan

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Maka

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

sehingga diperoleh

$$p = 3$$

Sekarang ciri-ciri utamanya mudah dibaca:

• Titik puncak: $(2, -1)$
• Sumbu simetri: $x = 2$
• Arah buka: ke atas, karena $p > 0$
• Fokus: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Direktriks: $y = -1 - 3 = -4$

Jadi grafiknya adalah parabola vertikal dengan titik puncak di $(2, -1)$, membuka ke atas menuju fokus $(2, 2)$.

Cara Menggambar Grafik Parabola dengan Cepat

Mulailah dengan mencari titik puncak. Lalu perhatikan variabel mana yang dikuadratkan.

Jika bagian yang dikuadratkan adalah $(x - h)^2$, parabolanya vertikal. Jika bagian yang dikuadratkan adalah $(y - k)^2$, parabolanya horizontal.

Selanjutnya, cari $p$ dari faktor $4p$. Ini memberi tahu arah buka sekaligus seberapa jauh fokus dan direktriks dari titik puncak.

Plot titik puncak dan fokus terlebih dahulu, lalu gambar direktriks. Setelah tiga unsur ini ditentukan, kurvanya akan jauh lebih mudah disketsakan dengan benar.

Kesalahan Umum pada Parabola

Mengira $4p$ sebagai $p$

Dalam

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

kamu harus membaca $4p = 12$, sehingga $p = 3$. Banyak kesalahan terjadi karena menganggap $12$ langsung sebagai $p$.

Tertukar antara dua bentuk standar

Jika $x$ adalah variabel yang dikuadratkan, parabolanya vertikal. Jika $y$ adalah variabel yang dikuadratkan, parabolanya horizontal. Jika tertukar, fokus dan direktriksnya juga akan salah.

Melewatkan tanda

Jika $p$ bernilai negatif, parabola membuka ke bawah atau ke kiri, bukan ke atas atau ke kanan. Tanda menentukan arah.

Menganggap setiap parabola memiliki titik puncak di $(0, 0)$

Itu hanya benar untuk bentuk yang paling sederhana. Persamaan yang bergeser memindahkan titik puncak menjauh dari titik asal.

Kapan Parabola Digunakan

Parabola muncul dalam geometri koordinat, grafik kuadrat, dan irisan kerucut. Parabola juga muncul dalam model gerak, seperti gerak peluru, tetapi hanya pada kasus ideal dengan gravitasi konstan dan hambatan udara yang dapat diabaikan.

Parabola penting dalam penerapan karena memiliki sifat pemantulan: sinar yang sejajar dengan sumbunya akan dipantulkan melalui fokus dalam model geometri ideal. Itulah sebabnya bentuk parabola muncul pada beberapa antena, reflektor, dan cermin.

Cara Sederhana untuk Mengingatnya

Jika kamu lupa rumusnya, ingat dulu geometri dasarnya: parabola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari fokus dan direktriks. Titik puncak berada di tengah, dan kurva membuka ke arah fokus.

Dari situ, persamaannya lebih mudah dibangun kembali daripada dihafal begitu saja.

Coba Soal Serupa

Coba versimu sendiri dengan

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Tentukan titik puncak, fokus, direktriks, dan arah bukanya sebelum kamu membuat sketsa grafik. Lalu periksa apakah fokusmu berada di sisi tempat parabola membuka.