Parábola — Ecuación, foco, directriz y gráfica

Una parábola es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz. Esa sola regla explica la ecuación de la parábola, hacia dónde se abre la gráfica y cómo encontrar el foco y la directriz a partir de la ecuación.

Una parábola suele dibujarse como una forma de U, pero esa imagen es solo una parte de la idea. El hecho más útil es este: cada punto de la curva cumple la misma condición de distancia.

Partes clave de una parábola

El vértice es el punto de giro de la parábola. Está a mitad de camino entre el foco y la directriz a lo largo del eje de simetría.

El eje de simetría es la recta que divide la parábola en dos mitades espejo. Si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, el eje es vertical. Si se abre hacia la izquierda o hacia la derecha, el eje es horizontal.

La parábola siempre se abre hacia el foco y en dirección opuesta a la directriz.

Ecuación de la parábola en forma estándar

Si el vértice está en el origen, hay dos formas estándar.

Para una parábola vertical,

$$x^2 = 4py$$

El foco es $(0, p)$ y la directriz es

$$y = -p$$

Si $p > 0$, la parábola se abre hacia arriba. Si $p < 0$, se abre hacia abajo.

Para una parábola horizontal,

$$y^2 = 4px$$

El foco es $(p, 0)$ y la directriz es

$$x = -p$$

Si $p > 0$, la parábola se abre hacia la derecha. Si $p < 0$, se abre hacia la izquierda.

El detalle importante es que el coeficiente es $4p$, no $p$.

Ecuaciones de parábolas trasladadas

Si el vértice está en $(h, k)$, las formas se convierten en

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

y

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Para

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

la parábola tiene vértice $(h, k)$, foco $(h, k + p)$ y directriz

$$y = k - p$$

Para

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

la parábola tiene vértice $(h, k)$, foco $(h + p, k)$ y directriz

$$x = h - p$$

Estas fórmulas suponen que la ecuación ya está escrita en una de estas formas estándar.

Ejemplo resuelto: hallar el vértice, el foco y la directriz

Considera

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Compárala con

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Entonces

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

lo que da

$$p = 3$$

Ahora las características principales se leen fácilmente:

• Vértice: $(2, -1)$
• Eje de simetría: $x = 2$
• Apertura: hacia arriba, porque $p > 0$
• Foco: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Directriz: $y = -1 - 3 = -4$

Así que la gráfica es una parábola vertical con vértice en $(2, -1)$, que se abre hacia arriba en dirección al foco $(2, 2)$.

Cómo graficar una parábola rápidamente

Empieza encontrando el vértice. Luego observa qué variable está al cuadrado.

Si la parte al cuadrado es $(x - h)^2$, la parábola es vertical. Si la parte al cuadrado es $(y - k)^2$, la parábola es horizontal.

Después, halla $p$ a partir del factor $4p$. Esto te dice tanto la dirección de apertura como qué tan lejos están el foco y la directriz del vértice.

Marca primero el vértice y el foco, y luego dibuja la directriz. Una vez que esas tres características están ubicadas, es mucho más fácil esbozar correctamente la curva.

Errores comunes con las parábolas

Confundir $4p$ con $p$

En

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

debes leer $4p = 12$, así que $p = 3$. Muchos errores vienen de tomar $12$ directamente como si fuera $p$.

Confundir las dos formas estándar

Si $x$ es la variable al cuadrado, la parábola es vertical. Si $y$ es la variable al cuadrado, la parábola es horizontal. Intercambiarlas da un foco y una directriz incorrectos.

Pasar por alto el signo

Si $p$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda, no hacia arriba o hacia la derecha. El signo controla la dirección.

Suponer que toda parábola tiene vértice en $(0, 0)$

Eso solo es cierto en la forma más simple. Las ecuaciones trasladadas mueven el vértice fuera del origen.

Cuándo se usa una parábola

Las parábolas aparecen en geometría analítica, gráficas cuadráticas y secciones cónicas. También aparecen en modelos de movimiento, como el movimiento de proyectiles, pero solo en el caso idealizado de gravedad constante y resistencia del aire despreciable.

Son importantes en aplicaciones porque una parábola tiene una propiedad de reflexión: los rayos paralelos a su eje se reflejan pasando por el foco en el modelo geométrico ideal. Por eso las formas parabólicas aparecen en algunas antenas, reflectores y espejos.

Una forma sencilla de recordarlo

Si olvidas las fórmulas, recuerda primero la geometría: una parábola es el conjunto de puntos que están a la misma distancia del foco y de la directriz. El vértice queda en medio, y la curva se abre hacia el foco.

A partir de ahí, las ecuaciones son más fáciles de reconstruir que de memorizar a ciegas.

Prueba un problema similar

Intenta tu propia versión con

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Halla el vértice, el foco, la directriz y la dirección de apertura antes de esbozar la gráfica. Luego comprueba si tu foco está del lado hacia el que se abre la parábola.