พาราโบลา — สมการ โฟกัส ไดเรกทริกซ์ และกราฟ

พาราโบลาคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเท่ากัน ซึ่งเรียกว่า โฟกัส และห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งเท่ากัน ซึ่งเรียกว่า ไดเรกทริกซ์ กฎเพียงข้อนี้อธิบายได้ทั้งสมการพาราโบลา ทิศทางการเปิดของกราฟ และวิธีหาโฟกัสกับไดเรกทริกซ์จากสมการ

พาราโบลามักถูกวาดเป็นรูปตัวยู แต่ภาพนั้นเป็นเพียงส่วนหนึ่งของแนวคิดเท่านั้น ข้อเท็จจริงที่สำคัญกว่าคือ ทุกจุดบนเส้นโค้งนี้เป็นไปตามเงื่อนไขเรื่องระยะทางเดียวกัน

ส่วนประกอบสำคัญของพาราโบลา

จุดยอด คือจุดกลับตัวของพาราโบลา จุดนี้อยู่กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกทริกซ์ตามแนวแกนสมมาตร

แกนสมมาตร คือเส้นที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วนที่เป็นภาพสะท้อนกัน ถ้าพาราโบลาเปิดขึ้นหรือเปิดลง แกนจะเป็นแนวตั้ง ถ้าเปิดไปทางซ้ายหรือขวา แกนจะเป็นแนวนอน

พาราโบลาจะเปิดเข้าหาโฟกัสและเปิดออกจากไดเรกทริกซ์เสมอ

สมการพาราโบลาในรูปมาตรฐาน

ถ้าจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด จะมีรูปมาตรฐานอยู่สองแบบ

สำหรับพาราโบลาแนวตั้ง

$$x^2 = 4py$$

โฟกัสคือ $(0, p)$ และไดเรกทริกซ์คือ

$$y = -p$$

ถ้า $p > 0$ พาราโบลาจะเปิดขึ้น ถ้า $p < 0$ พาราโบลาจะเปิดลง

สำหรับพาราโบลาแนวนอน

$$y^2 = 4px$$

โฟกัสคือ $(p, 0)$ และไดเรกทริกซ์คือ

$$x = -p$$

ถ้า $p > 0$ พาราโบลาจะเปิดไปทางขวา ถ้า $p < 0$ พาราโบลาจะเปิดไปทางซ้าย

รายละเอียดสำคัญคือ สัมประสิทธิ์ตรงนี้คือ $4p$ ไม่ใช่ $p$

สมการพาราโบลาที่มีการเลื่อนตำแหน่ง

ถ้าจุดยอดอยู่ที่ $(h, k)$ รูปสมการจะเป็น

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

และ

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

สำหรับ

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

พาราโบลาจะมีจุดยอด $(h, k)$ โฟกัส $(h, k + p)$ และไดเรกทริกซ์คือ

$$y = k - p$$

สำหรับ

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

พาราโบลาจะมีจุดยอด $(h, k)$ โฟกัส $(h + p, k)$ และไดเรกทริกซ์คือ

$$x = h - p$$

สูตรเหล่านี้ใช้ได้เมื่อสมการถูกเขียนให้อยู่ในรูปมาตรฐานแบบใดแบบหนึ่งข้างต้นแล้ว

ตัวอย่างทำโจทย์: หาจุดยอด โฟกัส และไดเรกทริกซ์

พิจารณา

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

เทียบกับ

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

ดังนั้น

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

จึงได้ว่า

$$p = 3$$

ตอนนี้เราสามารถอ่านลักษณะสำคัญได้ง่าย ๆ ดังนี้

• จุดยอด: $(2, -1)$
• แกนสมมาตร: $x = 2$
• ทิศทางการเปิด: เปิดขึ้น เพราะ $p > 0$
• โฟกัส: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• ไดเรกทริกซ์: $y = -1 - 3 = -4$

ดังนั้นกราฟนี้เป็นพาราโบลาแนวตั้งที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(2, -1)$ และเปิดขึ้นไปหาโฟกัส $(2, 2)$

วิธีเขียนกราฟพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

เริ่มจากหาจุดยอดก่อน จากนั้นดูว่าตัวแปรใดถูกยกกำลังสอง

ถ้าส่วนที่ยกกำลังสองคือ $(x - h)^2$ พาราโบลาจะเป็นแนวตั้ง ถ้าส่วนที่ยกกำลังสองคือ $(y - k)^2$ พาราโบลาจะเป็นแนวนอน

ต่อไป หา $p$ จากตัวประกอบ $4p$ ค่านี้จะบอกทั้งทิศทางการเปิด และบอกว่าโฟกัสกับไดเรกทริกซ์อยู่ห่างจากจุดยอดเท่าไร

พล็อตจุดยอดและโฟกัสก่อน แล้วจึงวาดเส้นไดเรกทริกซ์ เมื่อมีองค์ประกอบทั้งสามนี้แล้ว การสเก็ตช์เส้นโค้งจะง่ายและแม่นยำขึ้นมาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับพาราโบลา

สับสนระหว่าง $4p$ กับ $p$

ในสมการ

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

เราต้องอ่านว่า $4p = 12$ ดังนั้น $p = 3$ ความผิดพลาดจำนวนมากเกิดจากการมองว่า $12$ คือ $p$ โดยตรง

สลับรูปมาตรฐานทั้งสองแบบ

ถ้า $x$ เป็นตัวแปรที่ถูกยกกำลังสอง พาราโบลาจะเป็นแนวตั้ง ถ้า $y$ เป็นตัวแปรที่ถูกยกกำลังสอง พาราโบลาจะเป็นแนวนอน ถ้าสลับกัน จะหาโฟกัสและไดเรกทริกซ์ผิด

มองข้ามเครื่องหมาย

ถ้า $p$ เป็นลบ พาราโบลาจะเปิดลงหรือเปิดไปทางซ้าย ไม่ใช่เปิดขึ้นหรือเปิดไปทางขวา เครื่องหมายเป็นตัวกำหนดทิศทาง

คิดว่าพาราโบลาทุกเส้นมีจุดยอดที่ $(0, 0)$

สิ่งนี้จริงเฉพาะในรูปที่ง่ายที่สุดเท่านั้น สมการที่มีการเลื่อนตำแหน่งจะทำให้จุดยอดย้ายออกจากจุดกำเนิด

พาราโบลาถูกนำไปใช้เมื่อไร

พาราโบลาปรากฏในเรขาคณิตวิเคราะห์ กราฟกำลังสอง และภาคตัดกรวย นอกจากนี้ยังพบในแบบจำลองการเคลื่อนที่ เช่น การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ แต่จะเป็นจริงในกรณีอุดมคติที่แรงโน้มถ่วงคงที่และแรงต้านอากาศน้อยมาก

พาราโบลาสำคัญในงานประยุกต์เพราะมีสมบัติการสะท้อน กล่าวคือ รังสีที่ขนานกับแกนของมันจะสะท้อนผ่านโฟกัสในแบบจำลองเรขาคณิตอุดมคติ นี่จึงเป็นเหตุผลที่รูปทรงพาราโบลาถูกใช้ในจานรับสัญญาณ ตัวสะท้อน และกระจกบางชนิด

วิธีจำแบบง่าย ๆ

ถ้าคุณลืมสูตร ให้จำภาพทางเรขาคณิตก่อน: พาราโบลาคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากโฟกัสและไดเรกทริกซ์เท่ากัน จุดยอดอยู่ตรงกลาง และเส้นโค้งจะเปิดเข้าหาโฟกัส

เมื่อเริ่มจากตรงนี้ การสร้างสมการกลับขึ้นมาใหม่จะง่ายกว่าการท่องจำแบบไม่เข้าใจ

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองจากสมการ

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

หาจุดยอด โฟกัส ไดเรกทริกซ์ และทิศทางการเปิดก่อนสเก็ตช์กราฟ จากนั้นตรวจดูว่าโฟกัสของคุณอยู่ด้านเดียวกับที่พาราโบลาเปิดหรือไม่