Parabola — równanie, ognisko, kierownica i wykres

Parabola to zbiór wszystkich punktów, które są w tej samej odległości od ustalonego punktu, zwanego ogniskiem, oraz od ustalonej prostej, zwanej kierownicą. Ta jedna zasada wyjaśnia równanie paraboli, kierunek otwarcia wykresu oraz to, jak wyznaczyć ognisko i kierownicę z równania.

Parabola jest często rysowana jako kształt litery U, ale to tylko część całej idei. Ważniejszy jest fakt, że każdy punkt na tej krzywej spełnia ten sam warunek odległości.

Najważniejsze elementy paraboli

Wierzchołek to punkt zwrotny paraboli. Leży dokładnie w połowie drogi między ogniskiem a kierownicą wzdłuż osi symetrii.

Oś symetrii to prosta, która dzieli parabolę na dwie lustrzane części. Jeśli parabola otwiera się w górę lub w dół, oś jest pionowa. Jeśli otwiera się w lewo lub w prawo, oś jest pozioma.

Parabola zawsze otwiera się w stronę ogniska i od kierownicy.

Równanie paraboli w postaci standardowej

Jeśli wierzchołek leży w początku układu, są dwie postacie standardowe.

Dla paraboli pionowej,

$$x^2 = 4py$$

ognisko ma współrzędne $(0, p)$, a kierownica ma równanie

$$y = -p$$

Jeśli $p > 0$, parabola otwiera się w górę. Jeśli $p < 0$, otwiera się w dół.

Dla paraboli poziomej,

$$y^2 = 4px$$

ognisko ma współrzędne $(p, 0)$, a kierownica ma równanie

$$x = -p$$

Jeśli $p > 0$, parabola otwiera się w prawo. Jeśli $p < 0$, otwiera się w lewo.

Ważny szczegół jest taki, że współczynnik to $4p$, a nie $p$.

Równania paraboli przesuniętej

Jeśli wierzchołek jest w punkcie $(h, k)$, postacie przyjmują formę

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

oraz

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Dla

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

parabola ma wierzchołek $(h, k)$, ognisko $(h, k + p)$ oraz kierownicę

$$y = k - p$$

Dla

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

parabola ma wierzchołek $(h, k)$, ognisko $(h + p, k)$ oraz kierownicę

$$x = h - p$$

Te wzory zakładają, że równanie jest już zapisane w jednej z tych postaci standardowych.

Przykład: wyznacz wierzchołek, ognisko i kierownicę

Rozważmy

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Dopasuj to do

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Zatem

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

co daje

$$p = 3$$

Teraz najważniejsze elementy łatwo odczytać:

• Wierzchołek: $(2, -1)$
• Oś symetrii: $x = 2$
• Kierunek otwarcia: w górę, ponieważ $p > 0$
• Ognisko: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Kierownica: $y = -1 - 3 = -4$

Zatem wykres jest parabolą pionową z wierzchołkiem w punkcie $(2, -1)$, otwierającą się w górę w stronę ogniska $(2, 2)$.

Jak szybko narysować parabolę

Zacznij od wyznaczenia wierzchołka. Następnie sprawdź, która zmienna jest podniesiona do kwadratu.

Jeśli część podniesiona do kwadratu to $(x - h)^2$, parabola jest pionowa. Jeśli część podniesiona do kwadratu to $(y - k)^2$, parabola jest pozioma.

Następnie wyznacz $p$ ze współczynnika $4p$. To mówi zarówno o kierunku otwarcia, jak i o tym, jak daleko od wierzchołka znajdują się ognisko i kierownica.

Najpierw zaznacz wierzchołek i ognisko, a potem narysuj kierownicę. Gdy te trzy elementy są już na miejscu, poprawne naszkicowanie krzywej jest dużo łatwiejsze.

Typowe błędy przy parabolach

Mylenie $4p$ z $p$

W równaniu

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

należy odczytać $4p = 12$, więc $p = 3$. Wiele błędów bierze się z traktowania liczby $12$ bezpośrednio jako $p$.

Mylenie dwóch postaci standardowych

Jeśli do kwadratu podniesione jest $x$, parabola jest pionowa. Jeśli do kwadratu podniesione jest $y$, parabola jest pozioma. Zamiana tych przypadków daje błędne ognisko i kierownicę.

Pomijanie znaku

Jeśli $p$ jest ujemne, parabola otwiera się w dół lub w lewo, a nie w górę lub w prawo. To znak decyduje o kierunku.

Zakładanie, że każda parabola ma wierzchołek w $(0, 0)$

To prawda tylko dla najprostszej postaci. Równania przesunięte przenoszą wierzchołek poza początek układu.

Gdzie używa się paraboli

Parabole pojawiają się w geometrii analitycznej, na wykresach funkcji kwadratowych i w stożkowych. Występują też w modelach ruchu, takich jak ruch pocisku, ale tylko w idealnym przypadku stałego przyspieszenia grawitacyjnego i pomijalnego oporu powietrza.

Są ważne w zastosowaniach, ponieważ parabola ma własność odbicia: promienie równoległe do jej osi w idealnym modelu geometrycznym odbijają się przez ognisko. Dlatego kształty paraboliczne pojawiają się w niektórych antenach, reflektorach i lustrach.

Prosty sposób, żeby to zapamiętać

Jeśli zapomnisz wzorów, najpierw przypomnij sobie geometrię: parabola to zbiór punktów jednakowo odległych od ogniska i kierownicy. Wierzchołek leży pośrodku, a krzywa otwiera się w stronę ogniska.

Dzięki temu łatwiej odtworzyć równania, zamiast uczyć się ich na pamięć bez zrozumienia.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie dla równania

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Wyznacz wierzchołek, ognisko, kierownicę i kierunek otwarcia, zanim naszkicujesz wykres. Następnie sprawdź, czy ognisko leży po tej stronie, w którą otwiera się parabola.