Parábola — Equação, Foco, Diretriz e Gráfico

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Essa única regra explica a equação da parábola, para onde o gráfico se abre e como encontrar o foco e a diretriz a partir da equação.

A parábola costuma ser desenhada como um formato de U, mas essa imagem mostra apenas parte da ideia. O fato mais útil é este: todo ponto da curva satisfaz a mesma condição de distância.

Partes Principais de uma Parábola

O vértice é o ponto de mudança de direção da parábola. Ele fica no meio do caminho entre o foco e a diretriz ao longo do eixo de simetria.

O eixo de simetria é a reta que divide a parábola em duas metades espelhadas. Se a parábola se abre para cima ou para baixo, o eixo é vertical. Se ela se abre para a esquerda ou para a direita, o eixo é horizontal.

A parábola sempre se abre em direção ao foco e para longe da diretriz.

Equação da Parábola na Forma Padrão

Se o vértice está na origem, há duas formas padrão.

Para uma parábola vertical,

$$x^2 = 4py$$

O foco é $(0, p)$ e a diretriz é

$$y = -p$$

Se $p > 0$, a parábola se abre para cima. Se $p < 0$, ela se abre para baixo.

Para uma parábola horizontal,

$$y^2 = 4px$$

O foco é $(p, 0)$ e a diretriz é

$$x = -p$$

Se $p > 0$, a parábola se abre para a direita. Se $p < 0$, ela se abre para a esquerda.

O detalhe importante é que o coeficiente é $4p$, e não $p$.

Equações de Parábolas Deslocadas

Se o vértice está em $(h, k)$, as formas passam a ser

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

e

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Para

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

a parábola tem vértice $(h, k)$, foco $(h, k + p)$ e diretriz

$$y = k - p$$

Para

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

a parábola tem vértice $(h, k)$, foco $(h + p, k)$ e diretriz

$$x = h - p$$

Essas fórmulas supõem que a equação já esteja escrita em uma dessas formas padrão.

Exemplo Resolvido: Encontre o Vértice, o Foco e a Diretriz

Considere

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Compare com

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Então,

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

o que dá

$$p = 3$$

Agora as principais características ficam fáceis de ler:

• Vértice: $(2, -1)$
• Eixo de simetria: $x = 2$
• Abertura: para cima, porque $p > 0$
• Foco: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Diretriz: $y = -1 - 3 = -4$

Então o gráfico é uma parábola vertical com vértice em $(2, -1)$, abrindo para cima em direção ao foco $(2, 2)$.

Como Fazer o Gráfico de uma Parábola Rapidamente

Comece encontrando o vértice. Depois observe qual variável está ao quadrado.

Se a parte ao quadrado é $(x - h)^2$, a parábola é vertical. Se a parte ao quadrado é $(y - k)^2$, a parábola é horizontal.

Em seguida, encontre $p$ a partir do fator $4p$. Isso informa tanto a direção da abertura quanto a distância do foco e da diretriz em relação ao vértice.

Marque primeiro o vértice e o foco, depois desenhe a diretriz. Quando essas três características estão no lugar, fica muito mais fácil esboçar a curva corretamente.

Erros Comuns com Parábolas

Confundir $4p$ com $p$

Em

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

você deve ler $4p = 12$, então $p = 3$. Muitos erros acontecem por tratar $12$ diretamente como se fosse $p$.

Trocar as duas formas padrão

Se $x$ é a variável ao quadrado, a parábola é vertical. Se $y$ é a variável ao quadrado, a parábola é horizontal. Trocar isso leva ao foco e à diretriz errados.

Ignorar o sinal

Se $p$ é negativo, a parábola se abre para baixo ou para a esquerda, e não para cima ou para a direita. O sinal controla a direção.

Supor que toda parábola tem vértice em $(0, 0)$

Isso só é verdade na forma mais simples. Equações deslocadas movem o vértice para longe da origem.

Quando uma Parábola É Usada

As parábolas aparecem na geometria analítica, nos gráficos de funções quadráticas e nas seções cônicas. Elas também aparecem em modelos de movimento, como o lançamento de projéteis, mas apenas no caso idealizado de gravidade constante e resistência do ar desprezível.

Elas são importantes em aplicações porque a parábola tem uma propriedade de reflexão: raios paralelos ao seu eixo se refletem passando pelo foco no modelo geométrico ideal. Por isso formas parabólicas aparecem em algumas antenas, refletores e espelhos.

Uma Forma Simples de Lembrar

Se você esquecer as fórmulas, lembre primeiro da geometria: uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. O vértice fica no meio, e a curva se abre em direção ao foco.

A partir daí, fica mais fácil reconstruir as equações do que decorá-las sem entender.

Tente um Problema Parecido

Tente sua própria versão com

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Encontre o vértice, o foco, a diretriz e a direção da abertura antes de esboçar o gráfico. Depois verifique se o foco está do lado para o qual a parábola se abre.