Parabol — phương trình, tiêu điểm, đường chuẩn & đồ thị

Parabol là tập hợp tất cả các điểm cách đều một điểm cố định, gọi là tiêu điểm, và một đường thẳng cố định, gọi là đường chuẩn. Chỉ với quy tắc đó, ta có thể giải thích phương trình parabol, hướng mở của đồ thị, và cách tìm tiêu điểm cùng đường chuẩn từ phương trình.

Parabol thường được vẽ như một đường cong hình chữ U, nhưng hình ảnh đó chỉ phản ánh một phần ý tưởng. Điều quan trọng hơn là: mọi điểm trên đường cong đều thỏa mãn cùng một điều kiện về khoảng cách.

Các thành phần chính của parabol

Đỉnh là điểm đổi hướng của parabol. Nó nằm chính giữa tiêu điểm và đường chuẩn theo trục đối xứng.

Trục đối xứng là đường thẳng chia parabol thành hai nửa đối xứng như gương. Nếu parabol mở lên hoặc xuống thì trục đối xứng là đường thẳng đứng. Nếu parabol mở sang trái hoặc sang phải thì trục đối xứng là đường thẳng ngang.

Parabol luôn mở về phía tiêu điểm và ra xa đường chuẩn.

Phương trình parabol ở dạng chuẩn

Nếu đỉnh nằm tại gốc tọa độ, có hai dạng chuẩn.

Với parabol có trục đứng,

$$x^2 = 4py$$

Tiêu điểm là $(0, p)$ và đường chuẩn là

$$y = -p$$

Nếu $p > 0$, parabol mở lên trên. Nếu $p < 0$, parabol mở xuống dưới.

Với parabol có trục ngang,

$$y^2 = 4px$$

Tiêu điểm là $(p, 0)$ và đường chuẩn là

$$x = -p$$

Nếu $p > 0$, parabol mở sang phải. Nếu $p < 0$, parabol mở sang trái.

Chi tiết quan trọng là hệ số ở đây là $4p$, không phải $p$.

Phương trình parabol tịnh tiến

Nếu đỉnh ở $(h, k)$, các dạng trở thành

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

và

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Với

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

parabol có đỉnh $(h, k)$, tiêu điểm $(h, k + p)$, và đường chuẩn

$$y = k - p$$

Với

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

parabol có đỉnh $(h, k)$, tiêu điểm $(h + p, k)$, và đường chuẩn

$$x = h - p$$

Các công thức này giả sử phương trình đã được viết sẵn ở một trong các dạng chuẩn trên.

Ví dụ có lời giải: tìm đỉnh, tiêu điểm và đường chuẩn

Xét

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Đối chiếu với

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Ta có

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

suy ra

$$p = 3$$

Bây giờ các đặc điểm chính rất dễ đọc ra:

• Đỉnh: $(2, -1)$
• Trục đối xứng: $x = 2$
• Hướng mở: lên trên, vì $p > 0$
• Tiêu điểm: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Đường chuẩn: $y = -1 - 3 = -4$

Vậy đồ thị là một parabol trục đứng có đỉnh tại $(2, -1)$, mở lên trên về phía tiêu điểm $(2, 2)$.

Cách vẽ nhanh đồ thị parabol

Bắt đầu bằng cách tìm đỉnh. Sau đó xem biến nào được bình phương.

Nếu phần bình phương là $(x - h)^2$, parabol có trục đứng. Nếu phần bình phương là $(y - k)^2$, parabol có trục ngang.

Tiếp theo, tìm $p$ từ hệ số $4p$. Điều này cho biết cả hướng mở lẫn khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm và đường chuẩn.

Hãy đánh dấu đỉnh và tiêu điểm trước, rồi vẽ đường chuẩn. Khi ba yếu tố đó đã có, việc phác đồ thị sẽ dễ chính xác hơn nhiều.

Những lỗi thường gặp với parabol

Nhầm $4p$ với $p$

Trong

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

ta phải đọc là $4p = 12$, nên $p = 3$. Rất nhiều sai sót xuất phát từ việc coi $12$ là $p$ luôn.

Nhầm lẫn giữa hai dạng chuẩn

Nếu $x$ là biến được bình phương thì parabol có trục đứng. Nếu $y$ là biến được bình phương thì parabol có trục ngang. Đổi lẫn hai trường hợp này sẽ dẫn đến sai tiêu điểm và đường chuẩn.

Bỏ sót dấu

Nếu $p$ âm, parabol sẽ mở xuống hoặc sang trái, không phải lên hoặc sang phải. Dấu quyết định hướng.

Cho rằng mọi parabol đều có đỉnh tại $(0, 0)$

Điều đó chỉ đúng với dạng đơn giản nhất. Các phương trình tịnh tiến sẽ làm đỉnh rời khỏi gốc tọa độ.

Khi nào parabol được sử dụng

Parabol xuất hiện trong hình học tọa độ, đồ thị hàm bậc hai và các đường conic. Nó cũng xuất hiện trong các mô hình chuyển động, chẳng hạn như chuyển động ném xiên, nhưng chỉ trong trường hợp lý tưởng với gia tốc trọng trường không đổi và sức cản không khí không đáng kể.

Parabol quan trọng trong ứng dụng vì nó có tính chất phản xạ: các tia song song với trục của nó sẽ phản xạ qua tiêu điểm trong mô hình hình học lý tưởng. Đó là lý do dạng parabol xuất hiện trong một số chảo thu, bộ phản xạ và gương.

Một cách đơn giản để ghi nhớ

Nếu bạn quên công thức, hãy nhớ hình học trước: parabol là tập hợp các điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn. Đỉnh nằm ở giữa, và đường cong mở về phía tiêu điểm.

Từ đó, bạn sẽ dễ dựng lại các phương trình hơn là học thuộc một cách máy móc.

Thử một bài tương tự

Hãy tự làm với

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Tìm đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn và hướng mở trước khi phác đồ thị. Sau đó kiểm tra xem tiêu điểm của bạn có nằm về phía mà parabol mở ra hay không.