Parabel — Gleichung, Brennpunkt, Leitlinie & Graph

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitlinie, gleich weit entfernt sind. Diese eine Regel erklärt die Parabelgleichung, in welche Richtung sich der Graph öffnet und wie man Brennpunkt und Leitlinie aus der Gleichung bestimmt.

Eine Parabel wird oft als U-Form gezeichnet, aber dieses Bild zeigt nur einen Teil der Idee. Wichtiger ist: Jeder Punkt auf der Kurve erfüllt dieselbe Abstandsbedingung.

Wichtige Teile einer Parabel

Der Scheitelpunkt ist der Umkehrpunkt der Parabel. Er liegt auf der Symmetrieachse genau in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitlinie.

Die Symmetrieachse ist die Gerade, die die Parabel in zwei spiegelgleiche Hälften teilt. Öffnet sich die Parabel nach oben oder unten, ist die Achse vertikal. Öffnet sie sich nach links oder rechts, ist die Achse horizontal.

Die Parabel öffnet sich immer zum Brennpunkt hin und von der Leitlinie weg.

Parabelgleichung in Standardform

Liegt der Scheitelpunkt im Ursprung, gibt es zwei Standardformen.

Für eine vertikale Parabel gilt

$$x^2 = 4py$$

Der Brennpunkt ist $(0, p)$ und die Leitlinie ist

$$y = -p$$

Wenn $p > 0$, öffnet sich die Parabel nach oben. Wenn $p < 0$, öffnet sie sich nach unten.

Für eine horizontale Parabel gilt

$$y^2 = 4px$$

Der Brennpunkt ist $(p, 0)$ und die Leitlinie ist

$$x = -p$$

Wenn $p > 0$, öffnet sich die Parabel nach rechts. Wenn $p < 0$, öffnet sie sich nach links.

Wichtig ist: Der Koeffizient ist $4p$, nicht $p$.

Verschobene Parabelgleichungen

Liegt der Scheitelpunkt bei $(h, k)$, werden die Formen zu

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

und

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Für

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

hat die Parabel den Scheitelpunkt $(h, k)$, den Brennpunkt $(h, k + p)$ und die Leitlinie

$$y = k - p$$

Für

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

hat die Parabel den Scheitelpunkt $(h, k)$, den Brennpunkt $(h + p, k)$ und die Leitlinie

$$x = h - p$$

Diese Formeln setzen voraus, dass die Gleichung bereits in einer dieser Standardformen geschrieben ist.

Durchgerechnetes Beispiel: Scheitelpunkt, Brennpunkt und Leitlinie bestimmen

Betrachte

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Vergleiche mit

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Dann gilt

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

also

$$p = 3$$

Jetzt lassen sich die wichtigsten Merkmale leicht ablesen:

• Scheitelpunkt: $(2, -1)$
• Symmetrieachse: $x = 2$
• Öffnung: nach oben, weil $p > 0$
• Brennpunkt: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Leitlinie: $y = -1 - 3 = -4$

Der Graph ist also eine vertikale Parabel mit Scheitelpunkt bei $(2, -1)$, die sich nach oben zum Brennpunkt $(2, 2)$ hin öffnet.

Wie man eine Parabel schnell zeichnet

Beginne damit, den Scheitelpunkt zu bestimmen. Schau dann, welche Variable quadriert ist.

Wenn der quadrierte Teil $(x - h)^2$ ist, ist die Parabel vertikal. Wenn der quadrierte Teil $(y - k)^2$ ist, ist die Parabel horizontal.

Bestimme als Nächstes $p$ aus dem Faktor $4p$. Das sagt dir sowohl die Öffnungsrichtung als auch, wie weit Brennpunkt und Leitlinie vom Scheitelpunkt entfernt sind.

Trage zuerst den Scheitelpunkt und den Brennpunkt ein und zeichne dann die Leitlinie. Wenn diese drei Merkmale festliegen, lässt sich die Kurve viel leichter richtig skizzieren.

Häufige Fehler bei Parabeln

$4p$ mit $p$ verwechseln

In

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

musst du $4p = 12$ lesen, also $p = 3$. Viele Fehler entstehen, wenn man $12$ direkt als $p$ nimmt.

Die beiden Standardformen verwechseln

Wenn $x$ die quadrierte Variable ist, ist die Parabel vertikal. Wenn $y$ die quadrierte Variable ist, ist die Parabel horizontal. Wer das vertauscht, bekommt den falschen Brennpunkt und die falsche Leitlinie.

Das Vorzeichen übersehen

Wenn $p$ negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten oder nach links, nicht nach oben oder nach rechts. Das Vorzeichen bestimmt die Richtung.

Annehmen, dass jede Parabel den Scheitelpunkt bei $(0, 0)$ hat

Das gilt nur für die einfachste Form. Verschobene Gleichungen verschieben den Scheitelpunkt vom Ursprung weg.

Wo Parabeln verwendet werden

Parabeln kommen in der analytischen Geometrie, bei quadratischen Graphen und bei Kegelschnitten vor. Sie erscheinen auch in Bewegungsmodellen wie dem Wurfparabel-Modell, allerdings nur im idealisierten Fall mit konstanter Schwerkraft und vernachlässigbarem Luftwiderstand.

Sie sind in Anwendungen wichtig, weil eine Parabel eine Reflexionseigenschaft hat: Strahlen, die parallel zu ihrer Achse verlaufen, werden im idealen geometrischen Modell durch den Brennpunkt reflektiert. Deshalb tauchen parabolische Formen bei manchen Schüsseln, Reflektoren und Spiegeln auf.

Eine einfache Merkhilfe

Wenn du die Formeln vergisst, merke dir zuerst die Geometrie: Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die vom Brennpunkt und von der Leitlinie gleich weit entfernt sind. Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte, und die Kurve öffnet sich zum Brennpunkt hin.

Von dort aus lassen sich die Gleichungen leichter wieder herleiten, statt sie nur auswendig zu lernen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Bestimme den Scheitelpunkt, den Brennpunkt, die Leitlinie und die Öffnungsrichtung, bevor du den Graphen skizzierst. Prüfe dann, ob dein Brennpunkt auf der Seite liegt, zu der sich die Parabel öffnet.