Parabola — Equazione, fuoco, direttrice e grafico

Una parabola è il luogo geometrico dei punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso, chiamato fuoco, e da una retta fissa, chiamata direttrice. Questa sola regola spiega l’equazione della parabola, verso dove si apre il grafico e come trovare fuoco e direttrice a partire dall’equazione.

La parabola viene spesso disegnata come una forma a U, ma quell’immagine è solo una parte dell’idea. Il fatto più utile è questo: ogni punto della curva soddisfa la stessa condizione di distanza.

Parti principali di una parabola

Il vertice è il punto di inversione della parabola. Si trova a metà strada tra il fuoco e la direttrice lungo l’asse di simmetria.

L’asse di simmetria è la retta che divide la parabola in due metà speculari. Se la parabola si apre verso l’alto o verso il basso, l’asse è verticale. Se si apre verso sinistra o verso destra, l’asse è orizzontale.

La parabola si apre sempre verso il fuoco e lontano dalla direttrice.

Equazione della parabola in forma standard

Se il vertice è nell’origine, ci sono due forme standard.

Per una parabola verticale,

$$x^2 = 4py$$

Il fuoco è $(0, p)$ e la direttrice è

$$y = -p$$

Se $p > 0$, la parabola si apre verso l’alto. Se $p < 0$, si apre verso il basso.

Per una parabola orizzontale,

$$y^2 = 4px$$

Il fuoco è $(p, 0)$ e la direttrice è

$$x = -p$$

Se $p > 0$, la parabola si apre verso destra. Se $p < 0$, si apre verso sinistra.

Il dettaglio importante è che il coefficiente è $4p$, non $p$.

Equazioni della parabola traslata

Se il vertice è in $(h, k)$, le forme diventano

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

e

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

Per

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

la parabola ha vertice $(h, k)$, fuoco $(h, k + p)$ e direttrice

$$y = k - p$$

Per

$$(y - k)^2 = 4p(x - h)$$

la parabola ha vertice $(h, k)$, fuoco $(h + p, k)$ e direttrice

$$x = h - p$$

Queste formule valgono se l’equazione è già scritta in una di queste forme standard.

Esempio svolto: trovare vertice, fuoco e direttrice

Considera

$$(x - 2)^2 = 12(y + 1)$$

Confrontala con

$$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$

Quindi

$$h = 2, \quad k = -1, \quad 4p = 12$$

da cui si ottiene

$$p = 3$$

Ora le caratteristiche principali si leggono facilmente:

• Vertice: $(2, -1)$
• Asse di simmetria: $x = 2$
• Apertura: verso l’alto, perché $p > 0$
• Fuoco: $(2, -1 + 3) = (2, 2)$
• Direttrice: $y = -1 - 3 = -4$

Quindi il grafico è una parabola verticale con vertice in $(2, -1)$, aperta verso l’alto in direzione del fuoco $(2, 2)$.

Come disegnare rapidamente una parabola

Inizia trovando il vertice. Poi osserva quale variabile è elevata al quadrato.

Se la parte al quadrato è $(x - h)^2$, la parabola è verticale. Se la parte al quadrato è $(y - k)^2$, la parabola è orizzontale.

Poi trova $p$ a partire dal fattore $4p$. Questo ti dice sia la direzione di apertura sia quanto distano fuoco e direttrice dal vertice.

Segna prima il vertice e il fuoco, poi traccia la direttrice. Quando questi tre elementi sono al loro posto, la curva è molto più facile da disegnare correttamente.

Errori comuni con le parabole

Confondere $4p$ con $p$

In

$$(x - h)^2 = 12(y - k)$$

devi leggere $4p = 12$, quindi $p = 3$. Molti errori nascono dal trattare direttamente $12$ come se fosse $p$.

Confondere le due forme standard

Se $x$ è la variabile al quadrato, la parabola è verticale. Se $y$ è la variabile al quadrato, la parabola è orizzontale. Scambiarle porta a trovare fuoco e direttrice sbagliati.

Dimenticare il segno

Se $p$ è negativo, la parabola si apre verso il basso o verso sinistra, non verso l’alto o verso destra. Il segno determina la direzione.

Supporre che ogni parabola abbia vertice in $(0, 0)$

Questo è vero solo nella forma più semplice. Le equazioni traslate spostano il vertice lontano dall’origine.

Quando si usa una parabola

Le parabole compaiono nella geometria analitica, nei grafici delle funzioni quadratiche e nelle sezioni coniche. Compaiono anche in modelli di moto, come il moto dei proiettili, ma solo nel caso idealizzato di gravità costante e resistenza dell’aria trascurabile.

Sono importanti nelle applicazioni perché una parabola ha una proprietà di riflessione: nel modello geometrico ideale, i raggi paralleli al suo asse vengono riflessi passando per il fuoco. Per questo le forme paraboliche compaiono in alcune antenne, riflettori e specchi.

Un modo semplice per ricordarla

Se dimentichi le formule, ricorda prima la geometria: una parabola è il luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice. Il vertice sta nel mezzo e la curva si apre verso il fuoco.

Da lì, le equazioni sono più facili da ricostruire invece di impararle a memoria senza capirle.

Prova un esercizio simile

Prova la tua versione con

$$(y + 3)^2 = -8(x - 1)$$

Trova il vertice, il fuoco, la direttrice e la direzione di apertura prima di disegnare il grafico. Poi controlla se il tuo fuoco si trova dal lato verso cui la parabola si apre.