Règle de Cramer — Résoudre des systèmes avec les déterminants

La règle de Cramer permet de résoudre un système carré d’équations linéaires à l’aide des déterminants. On remplace une colonne à la fois, on calcule un déterminant, puis on divise par le déterminant de la matrice des coefficients d’origine. Elle fonctionne seulement lorsque $\det(A) \ne 0$.

Si le système s’écrit

$$Ax = b$$

et que $A$ est carrée avec $\det(A) \ne 0$, alors le système admet une solution unique et la règle de Cramer permet de trouver directement chaque variable.

Formule de la règle de Cramer

Pour la variable $x_i$, la règle est

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

où $A_i$ est la matrice obtenue en remplaçant la $i$e colonne de $A$ par les constantes de $b$.

Cette condition est essentielle. Si $\det(A) = 0$, le dénominateur est nul, donc la règle de Cramer ne donne pas de solution unique.

Quand on peut utiliser la règle de Cramer

Utilisez-la seulement si toutes les conditions suivantes sont vraies :

1. Le système a autant d’équations que d’inconnues.
2. La matrice des coefficients est carrée.
3. Le déterminant de la matrice des coefficients n’est pas nul.

Si une condition échoue, il faut s’arrêter là. Par exemple, un déterminant nul signifie que le système peut ne pas avoir de solution ou en avoir une infinité, donc la règle de Cramer n’est pas le bon outil pour obtenir une solution unique.

Résoudre un système $2 \times 2$ étape par étape

Résoudre

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Commencez par identifier la matrice des coefficients et la colonne des constantes :

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Calculez le déterminant de $A$ :

$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -3$$

Comme $\det(A) = -3 \ne 0$, le système admet une solution unique, donc la règle de Cramer s’applique.

Trouver $x$

Remplacez la première colonne de $A$ par $b$ :

$$A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Puis

$$\det(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) - 1(1) = -6$$

Divisez maintenant par le déterminant d’origine :

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-6}{-3} = 2$$

Trouver $y$

Remplacez la deuxième colonne de $A$ par $b$ :

$$A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Puis

$$\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - 5(1) = -3$$

Divisez encore par $\det(A)$ :

$$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-3}{-3} = 1$$

La solution est donc

$$(x,y) = (2,1)$$

C’est le schéma complet : un déterminant pour la matrice d’origine, puis un déterminant supplémentaire pour chaque variable.

Pourquoi la règle de Cramer est importante

La règle de Cramer n’est généralement pas la méthode la plus rapide pour un grand système. On l’enseigne aux élèves parce qu’elle relie clairement trois idées :

• la résolution de systèmes linéaires
• les déterminants
• la condition d’existence d’une solution unique

Si $\det(A) \ne 0$, le système a une solution unique. Si $\det(A) = 0$, quelque chose se bloque : il peut ne pas y avoir de solution ou y en avoir une infinité.

Erreurs fréquentes avec la règle de Cramer

L’utiliser quand $\det(A) = 0$

C’est la vérification principale. La règle de Cramer repose sur une division par $\det(A)$, donc un déterminant nul signifie que la méthode ne s’applique pas pour obtenir une solution unique.

Remplacer la mauvaise colonne

Pour résoudre pour $x$, remplacez la colonne de $x$. Pour résoudre pour $y$, remplacez la colonne de $y$. La colonne des constantes ne s’ajoute pas ; elle remplace une seule colonne à la fois.

La considérer comme la meilleure méthode pour tous les systèmes

Pour les systèmes plus grands, la réduction par lignes ou les méthodes numériques sont généralement plus pratiques. La règle de Cramer est surtout utile pour les petits systèmes et pour comprendre le rôle des déterminants.

Quand la règle de Cramer est utilisée

Vous verrez généralement la règle de Cramer en algèbre et en algèbre linéaire lorsque l’objectif est la compréhension plutôt que la rapidité. Elle est particulièrement utile quand on veut montrer comment chaque variable dépend des coefficients et des constantes.

En pratique, elle est surtout confortable pour les systèmes $2 \times 2$ et parfois $3 \times 3$. Au-delà, le travail sur les déterminants augmente vite, donc elle cesse d’être la méthode par défaut.

Essayez un problème similaire

Essayez de résoudre

$$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 0 \end{cases}$$

Commencez par calculer $\det(A)$. S’il est non nul, remplacez une colonne à la fois et résolvez pour $x$ et $y$. Une fois le calcul fait à la main, comparez votre démarche avec un solveur matriciel pour vérifier les déterminants ainsi que la réponse finale.