Suma de Riemann: definición, fórmula y ejemplo

Una suma de Riemann aproxima una integral definida al dividir un intervalo en partes pequeñas, construir un rectángulo sobre cada parte y sumar las áreas de esos rectángulos. En resumen: ancho por altura en cada sección, y luego se suman todas las secciones.

Para una función $f$ en $[a,b]$, la fórmula general de la suma de Riemann es

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$

Aquí, $\Delta x_i$ es el ancho del $i$-ésimo subintervalo, y $x_i^*$ es el punto de muestra elegido dentro de ese subintervalo. El punto de muestra puede ser el extremo izquierdo, el extremo derecho o el punto medio.

Qué significa una suma de Riemann

La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ mide el cambio acumulado a lo largo de un intervalo. Geométricamente, a menudo representa el área con signo bajo la curva.

Una suma de Riemann reemplaza la curva por rectángulos que son más fáciles de sumar. Cuando las secciones se hacen más delgadas, los rectángulos suelen seguir la gráfica con mayor precisión. Si $f$ es continua en $[a,b]$, las particiones más finas hacen que las sumas se acerquen a la integral exacta.

Esa es la idea central de la integración: la integral es el límite de estas pequeñas partes acumuladas.

Sumas de Riemann izquierda, derecha y de punto medio

Si todos los subintervalos tienen el mismo ancho, entonces

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

y la regla para elegir el punto de muestra determina el tipo de suma:

• Suma izquierda: usa el extremo izquierdo de cada subintervalo.
• Suma derecha: usa el extremo derecho de cada subintervalo.
• Suma de punto medio: usa el punto medio de cada subintervalo.

Estas elecciones pueden cambiar si la estimación queda por encima o por debajo del valor real. Si la función es creciente en todo el intervalo, una suma izquierda subestima y una suma derecha sobreestima. Esa conclusión depende de que la función realmente sea creciente en ese intervalo.

Ejemplo resuelto: suma de Riemann derecha para $f(x) = x^2$ en $[0,2]$

Aproxima $\int_0^2 x^2\,dx$ usando una suma de Riemann derecha con $n=4$ subintervalos iguales.

Primero encuentra el ancho de cada subintervalo:

$$\Delta x = \frac{2-0}{4} = \frac{1}{2}$$

Como esta es una suma derecha, usamos los extremos derechos:

$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = \frac{3}{2}, \quad x_4 = 2$$

Ahora evalúa la función:

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}, \quad f(1) = 1, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}, \quad f(2) = 4$$

Construye la suma:

$$R_4 = \left(\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4\right)\frac{1}{2}$$

Suma dentro de los paréntesis:

$$\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 = \frac{15}{2}$$

Entonces

$$R_4 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3.75$$

La integral exacta es

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

La comparación importa más que la aritmética. La suma derecha da $3.75$, mientras que la integral exacta es aproximadamente $2.67$, así que la suma derecha es una sobreestimación. Eso ocurre aquí porque $x^2$ es creciente en $[0,2]$, lo que hace que cada rectángulo con extremo derecho sea un poco demasiado alto.

Errores comunes con las sumas de Riemann

1. Confundir $\Delta x$ con el punto de muestra. $\Delta x$ es el ancho; $x_i^*$ es donde se mide la altura.
2. Usar extremos derechos cuando el problema pide extremos izquierdos, o al revés.
3. Olvidar que la estimación puede quedar por encima o por debajo de la integral exacta según la función y la regla de muestreo.
4. Tratar toda suma de Riemann como si fuera área ordinaria. Si la función está por debajo del eje $x$, la integral definida y la suma de Riemann dan área con signo, no área física total.
5. Suponer que más rectángulos siempre resuelven cualquier problema. Las particiones más finas mejoran la aproximación bajo condiciones estándar como la continuidad, pero la suma sigue siendo una aproximación hasta que se toma en serio la idea de límite.

Cuándo se usan las sumas de Riemann

Las sumas de Riemann son útiles siempre que una cantidad se construye a partir de muchas contribuciones pequeñas.

• En cálculo, dan la intuición detrás de la integral definida.
• En física, pueden modelar cantidades acumuladas, como el desplazamiento a partir de muestras de velocidad.
• En trabajo numérico, proporcionan estimaciones simples cuando una antiderivada exacta no es conveniente o no es lo importante.

También son una forma práctica de comprobar si realmente entiendes qué significa una integral antes de usar mecánicamente las reglas de antiderivación.

Una forma rápida de leer la fórmula

Cada término $f(x_i^*) \Delta x_i$ es una pequeña contribución. La suma completa dice: suma todas las pequeñas contribuciones a lo largo del intervalo.

Ese mismo patrón aparece en todo el cálculo: pequeña contribución por ancho, y luego sumar. Una suma de Riemann hace visible esa estructura antes de que la notación de límite la convierta en una integral.

Prueba un problema similar

Prueba una suma de punto medio para $f(x)=x^2$ en $[0,2]$ con el mismo $n=4$. Luego compárala con la suma derecha de arriba y con el valor exacto $\frac{8}{3}$. Es una forma rápida de ver cómo la elección del punto de muestra cambia la estimación.