Εύρος στα Μαθηματικά — Πώς να το Υπολογίσετε & Παραδείγματα

Το εύρος στα μαθηματικά είναι η μεγαλύτερη τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων μείον τη μικρότερη τιμή. Δίνει ένα γρήγορο μέτρο διασποράς, ώστε να βλέπετε πόσο εκτείνονται τα δεδομένα από το ένα άκρο στο άλλο.

$$\text{range} = \text{maximum} - \text{minimum}$$

Χρειάζεστε μόνο δύο αριθμούς: τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή. Αν όλες οι τιμές είναι ίδιες, το εύρος είναι $0$.

Σε ορισμένα πλαίσια της άλγεβρας, το "range" μπορεί να σημαίνει το σύνολο των δυνατών εξόδων μιας συνάρτησης. Εδώ, το "range" σημαίνει τη διασπορά ενός συνόλου δεδομένων.

Τι σας δείχνει το εύρος για ένα σύνολο δεδομένων

Το εύρος δίνει μια γρήγορη σύνοψη του πόσο απλωμένα είναι τα δεδομένα. Ένα μικρό εύρος σημαίνει ότι οι τιμές παραμένουν αρκετά κοντά μεταξύ τους. Ένα μεγάλο εύρος σημαίνει ότι απέχουν περισσότερο.

Είναι χρήσιμο για έναν πρώτο έλεγχο, αλλά δεν δείχνει τι συμβαίνει στο μέσο των δεδομένων. Δύο σύνολα δεδομένων μπορεί να έχουν το ίδιο εύρος και παρ’ όλα αυτά να κατανέμονται πολύ διαφορετικά.

Πώς να υπολογίσετε το εύρος

Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω βήματα:

1. Βρείτε τη μικρότερη τιμή.
2. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή.
3. Αφαιρέστε τη μικρότερη τιμή από τη μεγαλύτερη τιμή.

Γραμμένο ως τύπος:

$$\text{range} = \text{max} - \text{min}$$

Αυτό ισχύει και για αρνητικούς αριθμούς. Το βασικό είναι να αφαιρέσετε την πραγματική ελάχιστη τιμή, ακόμη κι αν αυτή είναι κάτω από το μηδέν.

Παράδειγμα εύρους με αρνητικό αριθμό

Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο δεδομένων είναι

$$-4,\ 1,\ 6,\ 9,\ -1$$

Η μικρότερη τιμή είναι $-4$. Η μεγαλύτερη τιμή είναι $9$.

Τώρα αφαιρέστε:

$$\text{range} = 9 - (-4)$$

Η αφαίρεση αρνητικού γίνεται πρόσθεση:

$$\text{range} = 13$$

Άρα το εύρος είναι $13$.

Αυτό είναι ένα συνηθισμένο σημείο όπου γίνεται λάθος. Όταν η ελάχιστη τιμή είναι αρνητική, κρατήστε τις παρενθέσεις ώστε να κάνετε σωστά την αφαίρεση.

Συνηθισμένα λάθη όταν βρίσκετε το εύρος

Αφαίρεση με λάθος σειρά

Χρησιμοποιήστε μεγαλύτερη τιμή μείον μικρότερη τιμή, όχι το αντίστροφο.

Χρήση του πρώτου και του τελευταίου αριθμού της λίστας

Οι αριθμοί δεν χρειάζεται να είναι σε σειρά. Πρέπει πρώτα να βρείτε την πραγματική ελάχιστη και μέγιστη τιμή.

Παράβλεψη του αρνητικού πρόσημου

Αν η ελάχιστη τιμή είναι αρνητική, αφαιρέστε την προσεκτικά. Για παράδειγμα, $9 - (-4) = 13$, όχι $5$.

Η σκέψη ότι το εύρος δείχνει τα πάντα για τη διασπορά

Το εύρος χρησιμοποιεί μόνο δύο τιμές. Αν ένα σύνολο δεδομένων έχει μια ακραία τιμή, το εύρος μπορεί να αλλάξει πολύ ακόμη κι όταν οι περισσότερες τιμές παραμένουν συγκεντρωμένες κοντά μεταξύ τους.

Πότε είναι χρήσιμο το εύρος

Το εύρος χρησιμοποιείται συχνά στην εισαγωγική στατιστική, σε συνοπτικές παρουσιάσεις δεδομένων στην τάξη, σε συγκρίσεις βαθμολογιών και σε γρήγορους ελέγχους μεταβλητότητας.

Είναι πιο χρήσιμο όταν θέλετε ένα απλό και γρήγορο μέτρο διασποράς. Αν χρειάζεστε μια πιο πλήρη εικόνα, μέτρα όπως το ενδοτεταρτημοριακό εύρος ή η τυπική απόκλιση μπορούν να πουν περισσότερα για το πώς κατανέμονται οι τιμές.

Οριακές περιπτώσεις που πρέπει να θυμάστε

Αν ένα σύνολο δεδομένων έχει μόνο μία τιμή, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή είναι ίδιες, άρα το εύρος είναι $0$.

Αν δεν υπάρχουν καθόλου δεδομένα, το εύρος δεν ορίζεται, επειδή δεν υπάρχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή για σύγκριση.

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή με το σύνολο δεδομένων

$$3,\ 7,\ 7,\ 12,\ 15$$

Βρείτε την ελάχιστη τιμή, βρείτε τη μέγιστη τιμή και υπολογίστε το εύρος. Έπειτα αντικαταστήστε το $15$ με $30$ και δείτε πώς μία μεγαλύτερη τιμή αλλάζει αμέσως το εύρος.