Khoảng biến thiên trong toán học — Cách tính và ví dụ

Khoảng biến thiên trong toán học là giá trị lớn nhất trong một tập dữ liệu trừ đi giá trị nhỏ nhất. Nó cho bạn một cách đo nhanh độ phân tán, để thấy dữ liệu trải dài từ đầu này đến đầu kia bao xa.

$$\text{range} = \text{maximum} - \text{minimum}$$

Bạn chỉ cần hai số: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Nếu mọi giá trị đều giống nhau, khoảng biến thiên bằng $0$.

Trong một số ngữ cảnh đại số, "range" có thể có nghĩa là tập hợp các đầu ra có thể có của một hàm số. Ở đây, "range" có nghĩa là độ phân tán của một tập dữ liệu.

Khoảng biến thiên cho biết điều gì về một tập dữ liệu

Khoảng biến thiên cho bạn một bản tóm tắt nhanh về độ rộng của dữ liệu. Khoảng biến thiên nhỏ nghĩa là các giá trị khá gần nhau. Khoảng biến thiên lớn nghĩa là chúng cách xa nhau hơn.

Nó hữu ích để kiểm tra ban đầu, nhưng không cho biết điều gì xảy ra ở phần giữa của dữ liệu. Hai tập dữ liệu có thể có cùng khoảng biến thiên nhưng vẫn được phân bố rất khác nhau.

Cách tính khoảng biến thiên

Làm theo các bước sau:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất.
2. Tìm giá trị lớn nhất.
3. Lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.

Viết dưới dạng công thức:

$$\text{range} = \text{max} - \text{min}$$

Cách này cũng áp dụng cho số âm. Điều quan trọng là phải trừ đúng giá trị nhỏ nhất, ngay cả khi giá trị đó nhỏ hơn $0$.

Ví dụ về khoảng biến thiên với số âm

Giả sử tập dữ liệu là

$$-4,\ 1,\ 6,\ 9,\ -1$$

Giá trị nhỏ nhất là $-4$. Giá trị lớn nhất là $9$.

Bây giờ thực hiện phép trừ:

$$\text{range} = 9 - (-4)$$

Trừ một số âm sẽ thành cộng:

$$\text{range} = 13$$

Vậy khoảng biến thiên là $13$.

Đây là chỗ rất dễ mắc lỗi. Khi giá trị nhỏ nhất là số âm, hãy giữ dấu ngoặc để thực hiện phép trừ cho đúng.

Những lỗi thường gặp khi tìm khoảng biến thiên

Trừ sai thứ tự

Phải lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất, không làm ngược lại.

Dùng số đầu tiên và số cuối cùng trong danh sách

Các số không nhất thiết được sắp theo thứ tự. Bạn phải tìm đúng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trước.

Bỏ sót dấu âm

Nếu giá trị nhỏ nhất là số âm, hãy trừ cẩn thận. Ví dụ, $9 - (-4) = 13$, không phải $5$.

Nghĩ rằng khoảng biến thiên cho biết mọi thứ về độ phân tán

Khoảng biến thiên chỉ dùng hai giá trị. Nếu một tập dữ liệu có giá trị ngoại lai, khoảng biến thiên có thể thay đổi rất nhiều ngay cả khi phần lớn các giá trị vẫn tập trung gần nhau.

Khi nào khoảng biến thiên hữu ích

Khoảng biến thiên thường được dùng trong thống kê nhập môn, tóm tắt dữ liệu trong lớp học, so sánh điểm kiểm tra và kiểm tra nhanh mức độ biến thiên.

Nó hữu ích nhất khi bạn muốn một thước đo độ phân tán đơn giản và nhanh. Nếu cần cái nhìn đầy đủ hơn, các đại lượng như khoảng tứ phân vị hoặc độ lệch chuẩn có thể cho biết nhiều hơn về cách các giá trị được phân bố.

Những trường hợp đặc biệt cần nhớ

Nếu một tập dữ liệu chỉ có một giá trị, thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là như nhau, nên khoảng biến thiên bằng $0$.

Nếu hoàn toàn không có dữ liệu, thì khoảng biến thiên không xác định vì không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất để so sánh.

Thử một bài tương tự

Hãy thử với tập dữ liệu

$$3,\ 7,\ 7,\ 12,\ 15$$

Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất và tính khoảng biến thiên. Sau đó thay $15$ bằng $30$ và xem một giá trị lớn hơn có thể làm thay đổi khoảng biến thiên ngay lập tức như thế nào.