Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft ist der nach innen gerichtete Teil der resultierenden Kraft, der einen Körper auf einer Kreisbahn hält. Wenn diese nach innen gerichtete Kraft verschwindet, hört der Körper auf, der Kurve zu folgen, und bewegt sich entlang einer Tangente weiter.

Für eine Bewegung auf einem Kreis mit Radius $r$ und Geschwindigkeit $v$ ist der Betrag der nötigen nach innen gerichteten Kraft

$$F_c = \frac{m v^2}{r}$$

Diese Formel sagt dir, wie groß die nach innen gerichtete Kraft sein muss. Sie sagt dir nicht, welche physikalische Kraft sie liefert.

Du kannst dieselbe Beziehung auch in der Form

$$F_c = m \omega^2 r$$

sehen, denn für die Kreisbewegung gilt $v = \omega r$.

Was Zentripetalkraft wirklich bedeutet

Die Zentripetalkraft ist keine zusätzliche Kraft, die du in ein Freikörperbild einträgst. Sie ist die Bezeichnung für die resultierende Kraft, die zum Mittelpunkt zeigt. In einer Aufgabe kann diese Kraft die Seilspannung sein. In einer anderen kann es Gravitation, Reibung oder die Normalkraft sein.

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, ändert sich der Geschwindigkeitsvektor trotzdem, weil sich seine Richtung ständig dreht. Diese Richtungsänderung erfordert die Zentripetalbeschleunigung:

$$a_c = \frac{v^2}{r}$$

Wenn sich auch der Betrag der Geschwindigkeit ändert, gibt es zusätzlich eine tangentiale Beschleunigungskomponente. In diesem Fall gibt $m v^2 / r$ immer noch den nach innen gerichteten Teil der resultierenden Kraft an, aber nicht die gesamte resultierende Kraft.

Warum die Kraft nach innen zeigt

Ein bewegter Körper neigt dazu, sich in seiner momentanen Richtung weiterzubewegen. Damit diese Bewegung ständig zu einer Kreisbahn gekrümmt wird, muss die resultierende Kraft immer nach innen zeigen.

Eine Kugel an einer Schnur ist das Standardbeispiel. Die Seilspannung zieht zum Mittelpunkt, deshalb ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit der Kugel ständig. Wenn die Schnur reißt, gibt es keine neue nach außen gerichtete Kraft. Die Kugel bewegt sich einfach in die Richtung weiter, in die sie sich in diesem Moment bereits bewegte.

Durchgerechnetes Beispiel: Auto in einer flachen Kurve

Angenommen, ein Auto mit der Masse $m = 1200\ \mathrm{kg}$ fährt mit der Geschwindigkeit $v = 15\ \mathrm{m/s}$ durch eine flache Kreisbahnkurve mit Radius $r = 50\ \mathrm{m}$.

Beginne mit der Formel für die Zentripetalkraft:

$$F_c = \frac{m v^2}{r}$$

Setze nun die Werte ein:

$$F_c = \frac{(1200)(15^2)}{50} = \frac{(1200)(225)}{50} = 5400\ \mathrm{N}$$

Das Auto braucht also eine resultierende Kraft von $5400\ \mathrm{N}$ zum Mittelpunkt der Kurve hin. Auf einer ebenen Straße wird diese nach innen gerichtete Kraft meist durch die Haftreibung zwischen Reifen und Straße bereitgestellt.

Der letzte Satz ist der eigentliche physikalische Schritt. Die Formel liefert die nötige nach innen gerichtete Kraft, aber du musst trotzdem noch bestimmen, welche reale Kraft sie erzeugt.

Häufige Fehler bei der Zentripetalkraft

Sie als eigene Kraft behandeln

Frage dich, welche reale Kraft nach innen zeigt. Füge keine zweite Kraft mit dem Namen „Zentripetalkraft“ hinzu, außer du meinst damit das nach innen gerichtete Resultat der tatsächlichen Kräfte.

Kreisbewegung als Kräftegleichgewicht bezeichnen

Wenn die Bahn weiter gekrümmt ist, ist die resultierende Kraft nicht null. Eine von null verschiedene nach innen gerichtete Kraft ist notwendig.

Den Radius ignorieren

Bei gleicher Masse und gleicher Geschwindigkeit bedeutet ein kleinerer Radius eine schärfere Kurve, also ist eine größere Zentripetalkraft nötig.

In einem Inertialsystem eine nach außen gerichtete Kraft erfinden

In einem Inertialsystem zeigt die nötige Kraft nach innen. Das „nach außen“-Gefühl in einem abbiegenden Auto entsteht durch die Tendenz deines Körpers, sich geradlinig weiterzubewegen, während das Auto seine Richtung ändert.

Wo man Zentripetalkraft verwendet

Zentripetalkraft tritt immer dann auf, wenn eine Bewegung einer Kreisbahn folgt oder sich gut als Kreisbahn annähern lässt. Häufige Beispiele sind abbiegende Autos, Körper an Schnüren, Loopings von Achterbahnen, Satelliten und Planeten auf Umlaufbahnen.

In vielen Aufgaben besteht die Hauptaufgabe darin, die Kreisbewegung mit einem anderen Kraftgesetz zu verknüpfen. Je nach Situation setzt du zum Beispiel die Seilspannung gleich $m v^2 / r$ oder die Gravitationskraft gleich $m v^2 / r$.

Versuche eine ähnliche Aufgabe

Behalte dasselbe Auto und denselben Radius bei, aber verdopple die Geschwindigkeit von $15\ \mathrm{m/s}$ auf $30\ \mathrm{m/s}$. Weil die Kraft von $v^2$ abhängt, wird die nötige Zentripetalkraft viermal so groß und nicht nur doppelt so groß.

Wenn du danach noch einen weiteren Fall ausprobieren willst, nimm eigene Zahlen und prüfe, welche reale Kraft die nach innen gerichtete Wirkung liefern würde.